淮安市中考数学压轴题解析

论文总字数：8883字

摘 要

关键词：压轴题,动点,解题思路

Abstract: Huaian senior high school entrance examination in mathematics at the end of two comprehensive questions, referred to as "finale title". Senior high school entrance examination paper topic difficulty is configured according to 1:2:7. From the test results, whether to obtain the key math scores that can make the "1", that is the question. The objective of this paper is to make deep research against the problem in math paper of senior high school entrance examination in Huaian city in recent years, inductive sites change and problem solving methods, hoping to teach mathematics senior high school entrance examination with the guidance and help and learning.

keywords: against the problem,point,problem-solving

1.引言

近几年来，淮安市中考数学试卷中的中档题型的难度正在逐年下降，不断地向基础题型靠近，对于绝大部分考生而言，它们已经不是他们数学成绩高分的拦路虎，在基础题和中档题型的测试中，已经很难拉开差距。这个时候，要想取得优于其他同学的成绩，就必须在数学压轴题上下工夫。

关于今年来全国各地中考数学难题，压轴题，有许多人进行了研究，例如文[1-9]。本文的目的是探讨淮安数学中考试卷中近年来所涉及的压轴题型和知识点考查的变化，进一步分析压轴题型，解剖特殊压轴题型的解题方法.给出解决压轴难题的思路.本文重点地研究了动点依托不同图形运动所产生的一系列问题，这也是淮安中考压轴题近6年来重点考查的题型.

2.压轴题

2.1 压轴题定义

压轴－－压轴是戏曲术语, 指一台折子戏演出中的倒数第二个剧目由于紧压大轴而得名。由于最末一个剧目称大轴而得名。在考试中我们所说的压轴题是从这里引申过来的。一般地，我们称一道数学考题是压轴题，主要是指其难度较大，能较好的拉开考生的分数，具有较高的区分度。中考数学压轴题通常有3小问，其中第一问比较简单，第二问通常有些难度，通常要利用第一问的条件和结论。第三问难度最大，考查的是同学的综合能力。

2.2 压轴题的功能

压轴题——一这类题目一般分数多，难度大，重点考察学生的阅读理解能力、运算能力、观察能力、灵活运用知识的能力、研究问题的策略和运用数学知识解决实际问题的能力等，是在考试中能够拉开学生成绩的题目，也是很多学生和老师的重点研究项目 。

总的来讲，想要较好乃至优秀的成绩，那么突破压轴题这一难关则是必须的。就考试成绩这一方面来说，压轴题凸显了考试价值，引领教学导向。

2.3压轴题的特点

压轴题具有应用性、综合性、开放性、探究性、挑战性的特征；而且入口宽出口窄，起点低坡度缓、层次分明、容量大、运动变化难度大.

3.易考压轴题型及其解法

纵观近7年真题，其中2007年，2010年，2011年及2013年考的都是动点运动问题，看出，在接下来几年中考压轴题的命题中，动点问题和图形平移旋转问题，必然是重点，尤其是动点问题。下面我们通过具体例题分析讲解来了解解答这两个重点题型的思路方法。

3.1 动点面积问题

例1(2013年淮安中考题） 如图（1)，在△中，∠=90°，=3，=5．点从点出发，以每秒1个单位长 度沿→→→的方向运动；点从点出发，以每秒2个单位沿→→方向的运动，到达点后立即原速返回，若、两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为秒．
（1）当=?　时，点与点相遇；
（2）在点从点到点的运动过程中，当为何值时 ，为等腰三角形？
（3）在点从点返回点的运动过程中，设的面积为s平方单位．
①求与之间的函数关系式；
②当最大时，过点作直线交于点，将中沿直线折叠，使点落在直线

图（1）

上，求折叠后的与重叠部分的面积。

解.（1）首先利用勾股定理求得AC的长度为4，然后由题意可列出方程：

=3 5 4 (4 5) 解得=7

图（2）

（2）由题意可得，本小问可分两种情况，如图（2）即或.所以当时，则有，解得=1； 当时，则在的中垂线上，做垂直于，则、∽。 在直角三角形中，，、又因为，所以、解得

(3)由题意得、所以，过点作边上垂线叫于，可得∽，可求得长度为即为三角形的高。所以三角形面积为、所以当时面积最大、

当面积最大时，即时，则有为的垂直平分线，过点作边上高为，交于，设折叠后交点为，过做边上高，交于由相似可得，

图（3）

又由∽,∽，得出重叠部分的高即、所以面积为.

例2（2011年淮安中考题）如图，在直角中，角为直角，，，点在上，，点同时从点出发，分别沿以每秒1个单位的速度向点匀速运动，点到达点后，立即以原速沿向点运动，点运动到点时停止，点也随之停止，在点运动过程中，以为边作正方形，使它与三角形在线段同侧，设运动时间为秒（大于0），正方形与重叠部分面积为。

图（4）

1. .当时，正方形的边长是多少？

当时，正方形的边长是多少？

1. 当时，求S与t的函数关系式

(3)直接答出，在整个运动过程中，当为何值时，面积最大？最大值为多少？

解：（1）2:4.

图（5）图（6）

1. 求点在上时t的值如图（6）。

因为 且。

所以在正方形中，。

又因为，所以。

又因为是正方形，所以∠=∠=90度.又因为∠=∠，所以∽.所以，所以.

求点在上时的值如图（5）.又因为

所以正方形中.

又因为，所以.

防上又∽。

所以,解得.

因此，02分为三部分讨论：

图（7）

1、当06/11如图（7）,与的函数关系是：

1. 当时如图（7），S与t的函数关系是：

图（8）

3、当时如图（8）与的函数关系式是.

（3）综上可得当时，最大，最大面积为.

例3（2007年真题）在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片，已知，∠=30度。两点同时从原点出发，点以每秒个单位长度的速度沿X轴正方向运动，点以每秒一个单位长度沿轴正方向运动，设两点的运动时间

图（9）

为秒。

1. 点的坐标是（ ）?点的坐标为( )?
2. 在点 运动过程中，直线与直线垂直吗？请说明理由；
3. 当时间在什么范围内，直线与线段有公共点？
4. 将直角三角形在直线下方的部分沿下方的部分向上折叠，设折叠后重叠部分面积为，请写出与的函数关系式，并求出的最大值。

解：（1）由题意可得：，∠=30度，则根据直角三角形中30度所对的边是斜边的一半，则，=由勾股定理得出点（1，）点（0，）.

图（10）

(2)垂直.，连接DE，直角三角形中，tan∠==，

所以∠=60度.

因为∠=30度，

所以.

(3)因为总是垂直于运动，因此可以看做直线沿方向进行运动，因此两者有公共点的取值范围就是至，当过点点时，.

当过点时，直角三角形中，，∠=30度，因此..因此的取值范围是.

(4)当时，S=，S最大值为；

当时，S最大值为

当时，S无最大值；

综上所述S最大值为.

注（对比分析，归纳解题技巧）

上面的例1至例3都是动点面积问题，然而它们所涉及的知识点和解题思路还是有很大差别的.如文[3,4]，例1 涉及的考点有：相似三角形的性质、勾股定理、等腰三角形、折叠变换、方程的综合应用，正确进行分类讨论是关键；本题主要考察了学生是否具备动态立体的几何思维和函数处理能力，着重考察了对数学思想方法的认识与应用能力，如数形结合思想、分类讨论方法、几何与函数方程结合思想等.地（2）小题中，点在上与在上是分类讨论的关键，在上时，因为∠=90度，故只有，为等腰三角形，用一元一次方程即可；在上时，因为，而点到的距离大于，所以只有时，才能为等腰三角形，要根据点与点两个动点分别列出的代数式时解题的关键；第（3）小题，命题者的意图是期望考生使用三角函数方法来解题，而不是利用相似性，

例2考点有：相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理、正方形的性质；

例3考点有：翻折变换（折叠问题）；含30度角的特殊直角三角形，勾股定理；

这三个例题都是淮安近几年中考压轴真题，它们具有很强的代表性，通过对比考点，（1）我们发现者三道真题中全都用到了勾股定理，这说明一个问题，淮安近年命题者在出动点面积方面的压轴题时，他们更偏向于依托三角形运动或和直角三角形有关的图形进行命题，而勾股定理对绝大部分同学来说，都是教简单的内容，对于在压轴题中出现的相关应用，我们要掌握的就是一种看到直角三角形，我们第一时间就要通过勾股定理求出可求得数值；

（2）有两道题涉及到了相似三角形；相似性质在几何证明和求各类边长的问题中，基本上时必考的一个考点，而且一般都是中档题、甚至压轴题偏多.所以当我们处理几何图形相关难题的时候，可以将思维向相似方面靠拢，寻找解题思路，训练解题思维.

(3)折叠问题所涉及的普遍来讲都是压轴难度的题目，对于折叠问题，我们应该牢牢抓住的是：图形经过折叠后，哪些量产生了变化，哪些量保持不变，以不变的量为基础，解出变化的量，抓住之一核心是我们解决折叠问题的关键.同时折叠问题和相似性往往是孪生的兄弟，互相交叉，所以在遇到折叠问题时，我们也应考虑通过折叠前后的相似图形我们可以得出哪些结论.

3.2 动点路径长问题

文[5,6]指出，著名数学家付兰登塔尔曾说：“从来没有一种数学的思想会想当初被发现时那样付诸文字，一旦问题解决了，思考的程序便颠倒过来，把火热的思考变成冰冷的美丽”。动点问题是近年来中考的热点，其中有关直接写出动点的路径长的中考题也备受各地中考命题者的青睐，由于动点所经过的路径是隐性的，这类试题能全面考察数学活动过程、数学活动经验的积累、解决问题的能力及数学应用意识和创新意识，动点问题要经过火热的思考，才能得出冰冷的美丽。因此，这类问题经常出现在压轴题中，通常是要求直接写出路

图（11）

例4(2012年湖南张家界）如图（11），已知线段，时上两点，且，是线段上一动点，在同侧分别作等边三角形和等边三角形，为线段的中点，点由点移动到点时，点以东的路径长度为 ？

解：长度为2、如图虚线所示，延长连接后，可证四边形为平行四边形、从而得出点为的中点、所以点的运行轨迹为的中位线，所以，即路径长为2.

图（12）

例5(2010江苏南京）如图三，正方形的边长为2，是的中点，点从点出发，沿运动到点停止，连接并延长交射线与点，过做的垂线交射线于点，连接、.

(1)设=x时，的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

(2是的中点，请直接写出点的运动路线的长.

解、（1）当点与点重合时，x=0，y=2；

当点与点不重合时，.

在正方形中 ∠=∠=90度，

所以∠=90度，所以∠=∠.又因为、所以.

在直角中，，，=，=2

过做于，则∠=90度，∠=90度.

因为，所以∠ ∠=90度，

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