级数在定积分计算中的若干应用

论文总字数：5369字

摘 要

关键词： 定积分，级数，计算方法

Abstract: On the basis of the special form of the integral function and the integral interval, special methods using series with related theorems to solve difficult integral are given, so as to make the calculation of definite integral problems skillfully solved.In this paper,we use some examples to analyse those.

Key words: the definite integral, series, calculation method

目录

1 引言 ……………………………………………………………………… 4

2 预备知识……………………………………………………………………4

2.1 积分相关定理……………………………………………………………4

2.2 级数相关定理……………………………………………………………5

3 级数在定积分计算中的应用………………………………………………5

3.1 数项级数在定积分计算中的应用………………………………………5

3.2 函数项级数在定积分计算中的应用……………………………………9

3.3 傅里叶级数在定积分计算中的应用 …………………………………12

结 论 ………………………………………………………………………15

参考文献………………………………………………………………………16

致 谢…………………………………………………………………………17

1 引言

通过学习数学分析这门课程,我们了解到定积分计算的常用方法有三种：牛顿-莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法.这些常用方法能解决定积分计算中的大部分问题,但是对于一些比较复杂的积分常常不易解决,如著名的椭圆积分.在竞赛及考研题中都会出现一些比较复杂的积分计算问题,文[6]中将这类问题简化,直接给出被积函数的傅里叶展式,本文考虑在此基础上,进一步完善,给出求解傅里叶展式的过程,从而便于积分计算.因特殊的被积函数和特殊的积分区间,如果考虑用特殊积分计算方法会使不易计算的积分变得容易解决,而利用级数计算定积分就是一种特殊方法.事实上,在我们学习过程中,级数内容是在定积分之后学习的,我们这里用级数知识去解决部分难以计算的积分问题,这不仅加深理解各部分知识的内在联系,提高解题能力,还开拓了数学视野,提高了数学素养.

文[7-9]探讨了利用级数计算定积分的方法,本文进一步地系统研究大学数学课程中有关复杂定积分的计算，主要利用数项级数、幂级数、傅里叶级数解决特殊积分区间上的特殊函数的定积分计算.

2 预备知识

2.1 积分的相关定理

定理1（可积准则） 函数在上可积的充要条件是：任给，总存在相应

一个分割，使得

.

定理2（Lebesgue定理：可积的充要条件） 设函数在闭区间上有界，则在上可积的充要条件为：在上的一切不连续点构成的集合是一个零测度集.

定理3 设函数在上可积，则

变上限函数

，,

和变下限函数

，,

在上连续.

2.2 级数有关定理

定理4 设级数在上一致收敛，且每一项都连续，则

.

定理5 设幂级数在收敛区间上的和函数为，若为内任意一点，则在与这个区间上可积，且

.

3 级数在定积分计算中的应用

3.1 数项级数在定积分计算中的应用

对于被积函数在积分区间上只有可数个第一类不连续点，通常有两种方法可证可积性，即利用可积准则或定理，再者，我们很自然想到以这些间断点作为分割点来分割积分区间，将定积分计算化为级数问题.即

被积函数在区间上只有可数个第一类不连续点，且

,

,

那么有

,

其中在上连续，而

是易计算的.

例1 证明函数

在上可积，并计算.

解 先证可积性.

方法1 易知，，当时，有

.

显然，有界函数在上只有有限个间断点，所以可积，从而对的分割，使得

.

而在上，有

令

成为的一个分割，则有

.

由可积准则，知函数在上可积.

方法2 易知函数的不连续点为

它们构成一个可数集，由实变函数的知识知其测度为零，由定理2，知有界函数上可积.

再计算积分值.

因为上可积，所以由定理3，知变限函数

,

在上连续，从而有

.

注 证明可积性的两种方法各有特点,方法是运用黎曼积分理论来证明可积,方法2 则是用实变函数学科中勒贝格可积理论来证明可积性.黎曼可积准则适用于所有可积性问题,而可积定理适用于只有可数个不连续点的函数的积分问题.易看出针对这类函数的可积性问题用方法更简便.因此为了方便,下面两个例题的可积性均可用方法证明.

例2 证明函数

在上可积，并计算.

解 先证可积性.

函数的不连续点为

它们构成一个可数集，可积性同例1，从略.

因为在上可积，所以由定理3，知变限函数

,

在上连续，于是

.

注 例2中取整函数实质也是分段的，而且也只有可数个间断点，因此它的定积分计算问题可以同例1一样化为数项级数问题，但这种方法有其局限性：级数是否收敛，级数和能否简便算出.

例3 证明函数

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