极限思想在中学数学解题中的应用

论文总字数：6415字

摘 要

关键词：极限思想，数列，函数，几何，应用

Abstract：Limit theory is one of the important contents of higher mathematics, and it also has a close connection with middle school mathematics.This paper discusses the applications of limit in solving sequence limit, function, analytic geometry, solid geometry in middle school mathematics by some concrete examples.

Keywords: limit thought, series of numbers, function, geometry, applications

目 录

1 前言 ……………………………………………………………………………… 4

2 极限思想 ………………………………………………………………………… 4

3 极限思想在中学数学解题中的应用……………………………………… 4

3.1 极限思想在数列问题中的应用………………………………………… 5

3.2 极限思想在函数问题中的应用……………………………………… 6

3.3 极限思想在解析几何问题中的应用………………………………… 8

3.4 极限思想在立体几何问题中的应用…………………………………10

3.5 极限思想在应用题中的应用………………………………………………11

结论…………………………………………………………………………………13

参考文献……………………………………………………………………………14

致谢…………………………………………………………………………………15

1 前言

极限理论是中学数学的一种重要数学思想,在解题中有着不可忽视的作用.对于某些数学问题,如果我们能够灵活运用极限思想求解,往往可以避开一些抽象复杂的运算,降低解题难度,还可以优化解题思路,收到事半功倍的效果.鉴于此，本文将从极限思想的角度来解决中学数学的相关题目.通过具体的实例来阐述极限思想在中学数学的各个相关方面的应用.

极限思想在近几年高考中时有考察，且有进一步加大力度的趋势，而且极限思想作为高等数学的基础知识，对大学数学学习有着很重要作用.本文对中学数学和高等数学有着承上启下的衔接作用，具有一定的研究意义.

2 极限思想

极限思想是近代数学的一种重要思想，高等数学就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科.所谓的极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与之相关的变量，确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果.

函数极限定义：设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，若存在正数，使得当时有

则称函数当趋于时以为极限，记作

或 ^[1]

3 极限思想在中学数学解题中的应用

中学数学的很多知识都包含了极限思想，极限在中学数学教材上仅限于函数求导以及简单的积分求解.但是中学数学的很多知识点和题目都涉及了极限思想，比如数列、函数、解析几何、立体几何等.或者把一些看似与极限无关的内容转化为用极限思想来看待的问题，往往会起到事半功倍的效果，能够大大优化解题过程.

高考已经开始对无限思想进行考察，有关的高考题已经涉及极限理论.随着课程改革的逐步推进，高考数学必将加强对极限理论的考查，设计出重点体现极限理论的新颖试题.

.

3.1. 极限思想在数列问题中的应用

极限的概念就是从数列与数列收敛引入的，数列中包含很多极限的思想，中学数学题特别是近些年来的高考题，常以数列为载体来考察极限方面的内容.有些看似很难的压轴题若能用极限的思想来考虑它，会很容易将问题解决.按照中学生对于数列的理解，对于数列问题的处理，首先想到的会是求出的通项公式,再利用其通项公式，求出极限.若利用极限思想，直接根据，再根据等式计算，大大简化求解过程.

例1 设 求 .

解 令

则

因为 , 所以 ，故

,

例2 已知数列中，且对于任意正整数，总有，是否存在实数，使得，对于任意正整数恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.

解 如果这样的存在的话，则由，可得.

对两边取极限，得，解得或.

若，则应该是以为首项、以为公比的等比数列，

于是，， 不符合，

显然，不可能对任意的正整数都满足；

若，将代入 ，可求得，此时，，

,不符合.

所以，这样的实数不存在.

上面两个具体实例，都是将中学数学的数列问题通过极限思想转化为简单的分式方程进行求解.数列中的，数列中的，若是按照中学生的解题思路，往往是先找递推关系，求出其通项公式，再利用通项公式求解题目，而要想到这两个例题中的通项公式非常复杂，但是利用极限思想：，等式两边求极限使其变成等式方程.直接利用极限大大简化解题过程，这是极限思想在中学数列方面的应用.

3.2 极限思想在函数问题中的应用

极限是微积分中最基本的概念，它是从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，而在无限变化过程中考察变量的变化趋势的思想就是极限思想.极限思想在函数中的应用使问题深入浅出.

例 3 讨论函数的最值.

解

从数形结合的角度来看，函数值可以看成平面直角坐标系中轴上的动点到两点、的距离之差，即由平面几何的知识，易得当移动到2(在线段的延长线上)点时值最大.下面我们探讨此函数有无最小值，

分三种情况：①当在如图2中（线段的垂直平分线与轴的交点）右侧移动时；②当在与中间移动时；③当在左侧移动时.

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