无理数的计算证明及应用

论文总字数：8031字

摘 要

数的发现和数学的发展密不可分，纵观数学发展史无一不体现着数的身影．无理数是第一次数学危机的产物，它的发现极大地促进了数学和科技的发展．是三个著名的无理数，但它们却能用有理数表示出来．这就显得一些常见无理数的证明显得十分必要和重要，这不但体现了相关数学知识应用和技巧，更是数学的理性精神的重要表现．

关键词：有理数，无理数，幂级数，计算，证明

Abstract：The number of the discovery and development of math be interdependent, throughout the history of mathematics all reflect the number of the figure. Irrational number is the first mathematics crisis product, it is found that greatly promoted mathematics and the development of science and technology. are three famous irrational numbers in mathematics, However,they can use rational number expression. Then some common irrational proof is very necessary and important, it not only embodies the relevant mathematical knowledge application and skills, but also mathematical rational spirit of the important performance.

Keywords：irrational number，rational number，power series，calculate，proof

目 录

1 引言……………………………………………………………………4

2 无理数的发现…………………………………………………………4

2.1 古希腊人的发现……………………………………………………4

2.2 古代中国人的发现…………………………………………………4

3 无理数的表示方式……………………………………………………5

3.1 用无限不循环小数表示无理数……………………………………5

3.2 用连分数表示无理数………………………………………………6

3.3 用幂级数表示无理数 …………………………………………… 7

4 无理数的数值计算……………………………………………………8

5 无理数的证明…………………………………………………………8

6 几个特殊的无理数……………………………………………………9

6.1 圆周率……………………………………………………………9

6.2 自然对数的底数…………………………………………………9

6.3 黄金分割数………………………………………………………9

7 无理数的若干应用……………………………………………………9

7.1 的经济价值………………………………………………………9

7.2 在生产生活中的应用……………………………………………10

结论………………………………………………………………………13

参考文献…………………………………………………………………14

致谢………………………………………………………………………15

1 引言

数学是一门古老的科学．在学习和研究数学的过程中，人们经历了从自然数到有理数，从有理数到实数，从实数到复数的一系列扩展途径．特别是实数中的无理数的发现，曾经改变了数学的命运．虽然，在初中一年级我们就接触到无理数，在初中二年级还对无理数进行过研究．然而，许多人对于无理数这个大家庭的认识却是浅显的，仅停留在表面阶段．本文就是要对无理数进行较为深入的探讨和研究．

2 无理数的发现

2.1 古希腊人的发现

早在公元前500多年，古希腊有一个爱好数学的学派，首领是毕达哥拉斯．毕达哥拉斯学派有一个信条：万物皆数（整数以及整数之比数），即宇宙万事万物的规律都可以用数来解释．毕氏学派有一个重大发现——直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理），正当信徒们杀牛宰羊庆贺时，一个叫希伯索斯的弟子却发现了一个秘密：单位正方形的对角线的长度（）不再是整数或整数之比了．当希伯索斯把这个秘密悄悄告诉毕达哥拉斯时，毕达哥拉斯脸色大变——学派的信条受到了挑战．据说，毕达哥拉斯派了两个亲信，偷偷地把希伯索斯抛进了大海．自此，毕氏学派放弃了多年研究的方向，改向几何学的研究，从而导致了“第一次数学危机”．以后，人们把所有整数以及整数之比的数称为有理数，而类似的数称为无理数．

2.1 古代中国人的发现

许多数学史论著中认为，中国古代传统数学中没有涉及无理数的讨论．但是，中国数学史家发现，早在公元263年的刘徽之前，中国算学家已经有了无尽方根的概念，而且掌握和运用了根式的一些基本运算性质．

中国古算中的无理数产生于开方不尽和圆周率的计算．刘徽在《九章算术注》中有关无理根数的运算以及求微数法的叙述，是中算史上无理数理论保存至今的唯一珍贵文献．

《九章算术》开方术有云：“若开之不尽者，为不可开，当以面命之．”何谓“以面命之”? 刘徽注释“以面命之”，就是将这个开之不尽所得之新数命名为积之“面”，即相当于现代定义了一个方根．徽注云：“术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近，不可用也．凡开积为方，方之自乘当还复其积分．令不加借算而命分，则常微少，其加借算而命分，则又微多．其数不可得而定．故唯以面命之为不失耳．”

除之不尽而“命分”，开之不尽而“命面”，由运算引进新数，这是中算家关于数系扩展的深刻思想，为刘徽阐发得如此透彻．

“面”作为与现代数学中所谓“方根”同义的专门术语，不仅在《九章算术》中有明文记载，而且汉代以来便多有应用．

刘徽的“求微数法”是对古代无理数理论的又一重大贡献．刘徽《九章算术注》中论及此法者有3处：方田章“圆田术注”、少广章“开方术注”和“开立方术注”．

刘徽的论述表明，中算家通过千百次的开方运算懂得，存在开方不尽之数，其结果是不能用分数的有限形式来表示的．对于这种情形，或者引进新数称之为“面”，或者用求微数法以十进分数来无限逼近．并且中算家不仅会用十进分数作近似计算以满足实用的需要，而且会用“面”（即方根）来进行无理数的精确的理论计算．这种方法与现代数学中处理无理数的表示与计算的方法，可以说是极其相似．

3 无理数的表示方式

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