谈谈拉格朗日中值定理的应用

论文总字数：4665字

摘 要

关键词：拉格朗日中值定理，罗尔定理，柯西中值定理，连续．

Abstract：This paper mainly discusses the Lagrange mean value theorem in the basic theory, computing function limit, inequality proof, identity, existence of roots of discrimination and other aspects of the application. Through the constructor and the combination of the limit theory and inequality of knowledge has been given, and gives examples to illustrate

Key words: Lagrange"s mean value theorem；Rolle"s theorem；Cauchy mean value theorem； Continuous．

目 录

引言 5

1 预备知识 5

1.1 拉格朗日中值定理 5

1.2 拉格朗日中值定理的几何意义 5

1.3 拉格朗日中值定理的推广 5

2 拉格朗日中值定理的一些运用 6

2.1 拉格朗日中值定理在基础理论中的运用 6

2.2 拉格朗日中值定理在函数极限运算中的运用 7

2.3 利用拉格朗日中值定理证明恒等式. 8

2.4 利用拉格朗日中值定理判别方程根的存在性 9

2.5 拉格朗日中值定理在其他方面的运用 9

结 论 11

参考文献 12

致 谢 13

引言

拉格朗日中值定理是微分学最重要的定理之一,又称为微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是运用导数研究函数的重要工具.利用微分中值定理可以巧妙地解决一些问题,本文将论述拉格朗日中值定理在几个方面的运用.

1 预备知识

1.1 拉格朗日中值定理

若函数满足如下条件：

（1）在闭区间上连续；

（2）在开区间上可导.

则在内至少存在一点,使得成立.定理的结论也可变形为.

1.2 拉格朗日中值定理的几何意义

若闭区间内有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点,过点的切线平行于过点的直线.

1.3 拉格朗日中值定理的推广

1.3.1 柯西中值定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,而拉格朗日中值定理是柯西中值定理中时的特殊情况.

柯西中值定理 若函数与满足下列条件:

(1) 在闭区间上连续,

(2) 在开区间上可导,且对,有,则在内至少存在一点,使得

1.3.2 泰勒定理

若函数在区间上存在直到阶的连续导数,在内存在阶导数,则对任意给定的,至少存在一点,使得

其中

2 拉格朗日中值定理的一些运用

2.1 拉格朗日中值定理在基础理论中的运用

1．函数为常数的判别法：如果在区间内,则在内为一常数.

证明：在内任取两点和,设,则在上函数满足拉格朗日中值定理,从而有

,介于与之间.因为,特别有,故,即.这个等式对内任取两点和都成立,说明在内为一常数.

2．单调性判别：设函数在内内恒有,则在内是递增的.

证明：在内任取两点和,设,则在上函数满足拉格朗日中值定理,从而有

,介于与之间.又由已知条件推得,于是.这表明,即函数是增函数.

3．导数的极限定义：若函数在闭区间上连续,在内可导,且导数的极限：

（*）

存在（也可为）,则在点的函数的导数存在且等于．

证明：取（使）,计算.作比,取极限,当时,由（*）式得

依定义有.下同理左极限，故（*）成立

4．曲线凸性判别法: 设函数在内恒有,则曲线在该区间内是凸向下的.

证明：设是内任意的一点,则曲线过点的切线方程为

在内任取两点不同于的一点,则依定义需要证明,为此我们来考虑这个差值

（介于与之间）

（介于与之间）(*)

如此借助于中值定理所获得的等式(*),就把关于曲线凸向下的研究,即关于差符号的研究转化为对于函数的二阶导数符号的研究.由此可证所述.

小结：拉格朗日中值定理在上述基础理论中的应用非常广泛,所以有必要对其应用加以理解和重视.

2.2 拉格朗日中值定理在函数极限运算中的运用

　　例１.求

分析：此极限满足“”型,可用罗必达法则求解,但是用洛必达法则则须求很多次导数之比,比较烦,通过观察此极限发现它是“”　型,只须令函数,则在区间上满足拉格朗日中值定理条件,

解：,由于在上连续, 所以

从而有

　　例２.求证

分析：通过观察发现此不等式为“”型.令,则在区间和上满足拉格朗日中值定理的条件.

证明：,

由于,则可知,即

小结:在证明不等式时,出现“”　和“”　的形式,并且在和上满足拉格朗日中值定理条件,则可以将不等式根据拉格朗日中值定理进行变换在证明；若在不等式的两边出现“”　型,另一边出现“”　型,则可将不等式变形为含“”　型.若同时在和上满足拉格朗日中值定理条件,则利用拉格朗日中值定理条件进行证明.若只出现“”型，则构造“”型.

2.3 利用拉格朗日中值定理证明恒等式.

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