浅谈集合论的创立与发展

论文总字数：8617字

摘 要

关键词: 康托尔，集合论，悖论，公理化，可拓集合

Abstract:Set theory was founded by Cantor, a German mathematician, in the 1870s. It is one of the greatest achievements in the history of mathematics. Its basic concept has penetrated into all areas of mathematics. In the 20th century, set theorygot fast development. Then, extension set theory and fuzzy set theory was found tosolve new issues. This article is introduced set theory from the perspective of historical. And it reviews main achievements, introduce significance of set theory to the development of mathematical thought in brief.

Keywords: Cantor, set theory, paradox, axiomatization, extension set

目 录

摘要 1

Abstract 2

1 引言 4

2 集合论的创立 4

2.1 集合理论思想的萌芽时期 4

2.2 集合论创立之初 4

2.3 康托尔对集合理论的改进 5

3 悖论及其对集合论影响 6

3.1 集合论悖论的提出 6

3.2 三个著名的集合论悖论 6

3.2.1 布拉里—佛梯悖论 7

3.2.2 康托尔悖论 7

3.2.3 罗素悖论 7

3.3 集合论悖论的影响 7

4 集合论的发展 8

4.1 公理化集合论的建立 8

4.2 从Cantor集合到Fuzzy集合 9

4.3 可拓集合论的产生与发展 9

5 集合理论对数学发展的影响 10

5.1 集合论思想的演变 10

5.2 可拓集合论对数学发展的作用 11

参考文献 12

致谢 13

1 引言

集合论的观点和方法是由具体到抽象的有力工具，它早已渗透到了数学的各个分支。集合论的思想不仅是诸如分析学、几何学、概率论等经典数学建立发展的基础，也是现代数学赖以建立的基础。

随着经典集合、模糊集合、可拓集合相继产生也弥补了人们认识事物的不足，使人们认识问题不断的深化。数学的应用范围也从必然扩大到偶然，从精确扩大到模糊的研究领域。未来会是以可拓集合论和模糊集合论为基础形成的模糊数学、可拓数学与传统的经典数学一起，共同为各门科学、各个研究领域提供数学工具。

2 集合论的创立

2.1 集合理论思想的萌芽时期

集合论的全部历史都是围绕无穷集合展开的。

早在集合论创立之前两千多年，数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题，古希腊的学者最先注意并考察了它们。芝诺在公元前5世纪提出45个悖论，最为著名的悖论有：阿基里斯追龟悖论、二分法悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论，前三个悖论都是与无穷直接有关。芝诺虽没有明确用到无穷集合的概念，但问题的实质却是与无穷集合有关。

数学家波尔查诺是第一个为建立集合明确理论而做出努力的人。他明确的说到无穷集合的存在，强调了一一对应的概念，是康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845-1918）集合论的先驱。

2.2 集合论创立之初

法国数学家傅立叶在1811年发表了《关于热传导问题研究》的论文，文中应用将函数展为三角级数的方法一举解决了当时物理界提出的热传导的大课题。由于将任意函数展为三角级数的概念和方法具有巨大的理论意义和实用价值,因此被认为是数学史上“最辉煌的成就之一”。康托尔正是从研究把函数表达为三角级数的唯一性的判别问题而提出集合论的。把函数展为傅立叶级数的收敛性，以及密切相关的分析基础严密化的研究，都归结到建立实数理论问题，这需要彻底弄清实数的结构和性质，包括对数系的理解和数集概念的建立等。早在1870年、1871年和1872年，康托尔先后三次发表论文，证明了函数的三角级数表示的唯一性定理。为了描述某种无穷集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等重要概念——这是从间断点这一特殊问题的探讨转向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。

2.3 康托尔对集合理论的改进

1874年,康托尔在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇文章《论所有实代数数的集合的一个性质》，把集合作为数学对象，提出:“所谓集合,是把我们的直观或思维中确定相互间有明确区别的那些对象(它们叫做集合的元素)作为一个整体来考虑。”他还指出，如果一个集合能和它的一部分构成一一对应,它就是无穷的。他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。为将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则,提出了集合等价的概念。

康托尔还引进了可列的概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合称为可列集合。在他发表的第一篇关于集合论的文章中,证明了有理数集是可列的，使数学界感到惊讶，更为惊人的是他还证明了所有代数数构成的集合也是可列的。关于实数集合是否可列的问题，康托尔1873年在给戴特金(R .Dedekind)的信中提出过，但不久他自己得到了解答：实数集合是不可列的。通过这些证明，他建立起被称为“康托公理”的实数连续性公理，同年他又构造了实变函数论中著名的“康托尔三分集”，给出测度为零的不可列集的一个例子。由于实数集是不可列的,而代数数集合是可列的，于是他得到了一定有超越数存在的结论，而且超越数大大多于代数数，他的这一成果在当时的数学界引起了极大的轰动。

康托尔在1874年的第一篇关于集合论的论文中还证明了无穷集之间的差别，那就是既存在可列的无穷集，也存在像实数集那样不可列的无穷集。他引进了集合的势(也称基数)的概念，随后又对这一概念进行了深入的研究，引进了基数与序数理论，他还极富创建性地提出了超限基数和超限序数。他从1879年到1884年在《数学年鉴》上以《关于无穷的线性点集》为题发表了一系列文章，论述无穷数(或超穷数)理论。尤其是在1895年和1897年《数学年鉴》上发表的两篇具有决定意义的文章进一步阐述了无穷的特性，对无穷集合引进了新的基数。他给基数的和、积、幂下了定义，并指出他的关于基数的理论适合于有限集合。至于序数的概念，早在他引进一个已知集合的逐次导集时就感到有必要了，他定义了全序集及序数的和、积、相等与不相等等概念。

康托尔首创的具有划时代意义的集合论，是自古希腊时代的二千多年以来人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算，他从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改变了数学的结构,促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，极大地推进了数学的发展进程。

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