论文总字数：6395字

摘 要

关键词：幂零矩阵，逆矩阵，标准型，特征值，迹

Abstract：On the basis of explaining the concept of nilpotent matrix , this paper carried out the analysis and proof of the properties of nilpotent matrix, discussed the necessary and sufficient condition matrix nilpotent matrix and the methods which is nilpotent matrix. In addition，it also pointed out the advantages of nilpotent matrix when we are finding inverse matrix, and made discussion for it in the actual application.

Key words：nilpotent matrix,inverse matrix,standard,characteristic value,trace

目 录

1．引言 4

2．幂零矩阵的定义和相关定理 4

2.1 幂零矩阵的定义 4

2.2相关引理 4

3．幂零矩阵的判定和其性质 5

3.1幂零矩阵的判定 5

3.2幂零矩阵的基本性质 6

3.3幂零矩阵的标准型 7

3.4幂零矩阵的其他性质 10

4．幂零矩阵性质的应用 11

4.1幂零矩阵在求逆矩阵和求方幂问题中的应用 11

4.2幂零矩阵在证明题中的应用 13

结论 15

参考文献 16

致 谢 17

1．引言

矩阵理论是一门研究矩阵在数学上的应用的科目.矩阵理论起初是线性代数的一个小分支，但随着科学技术的迅速发展,它在经济管理、金融、保险、社会科学等领域中发挥着十分重要的作用.由于其陆续在代数、图论、组合数学和统计上得到应用，渐渐发展成为一门独立的学科.幂零矩阵是一类特殊而又十分重要的矩阵.自20世纪60年代以来，经众多的学者不懈的分析总结，探讨出了一些幂零矩阵的性质，并将其应用到矩阵理论的各个方面.近年来幂零矩阵也得到了进一步发展.在许多数学文献中曾给出了幂零矩阵的定义，但对它的性质和应用的研究较为缺乏，因此我们有很大的必要加强对这方面的研究.

2．幂零矩阵的定义及相关引理

2.1 幂零矩阵的定义

定义1.设为数域上的级方阵，若存在自然数，使得矩阵满足，则称为幂零矩阵.^[1]

定义2.设为数域上的幂零矩阵，满足的最小自然数称为的幂零指数，并称是次幂零矩阵.另外，级零矩阵是特殊的幂零矩阵，其幂零指数为1.

2.2相关引理

引理1.设,为级方阵，则.

引理2.行列式称为级的范德蒙行列式，则

引理3.相似矩阵具有相同的特征值.

引理4.（哈密尔顿—凯莱定理）设是级方阵，是的特征多项

式，则有.^[2]

引理5.设为级矩阵的特征值，则有

，

且对任意的多项式有的特征值为.

引理6.每一个级的复矩阵都与一矩阵相似，这个矩阵除去块的排序外被矩阵唯一决定的，它称为的标准形.

引理7.形矩阵的主对角线上的元素为它的特征值.

引理8.级块的最小多项式为且有

.

3．幂零矩阵的判定及其性质

3.1 幂零矩阵的判定

定理1.为幂零矩阵的特征值全为.^[3]

证明：（必要性）由于为幂零矩阵，所以存在，使得，于是，从而.因此得出，从而0是的一个特征值.

（充分性）由于的特征值全为知，由引理4知，的特征多项式为， ，所以为幂零矩阵.

定理2.为幂零矩阵对于任何正整数，迹.

证明：（必要性）由于是幂零矩阵，则的特征值全为.从而对于任何正整数，的特征值也全为，有

（充分性）令的特征值为，则的特征值为，，则

假设有不为的特征值，设为其中的互异的特征值，为相应的重数，有，；将上式视为关于变量的齐次线性方程组，又引理2知

知，．与假设矛盾，故的特征值全为，即为幂零矩阵.

定理3.上（下）三角矩阵是幂零矩阵当且仅当它的主对角元全为0.

证明：（必要性）设级上（下）三角矩阵是幂零矩阵.假如有某个主对角元，则对任意正整数，都有.

（必要性）设级上三角矩阵的主对角元全为0.则对任意正整数，都有的对角元全为0.所以迹，由定理2知，矩阵为幂零矩阵.

3.2幂零矩阵的基本性质

性质 1.幂零矩阵的行列式值为零，所有的幂零矩阵都不可逆，但和均是可逆的(为单位阵).且

（1），

（2），

证明：设是任一级幂零矩阵， 使得，由行列式的性质得

，是退化的，不可逆.

（1）由于，

所以可逆.

（2）当为奇数时：

当为偶数时同理可证.

性质 2.若是数域上的幂零矩阵，则都为幂零矩阵.

证明：由于为幂零矩阵，所以存在 使得，则

所以为幂零矩阵.

因为为幂零矩阵，所以，知的秩只能为或.

当时，是幂零矩阵；

当时，有.由的特征值全为零，则存在可逆阵，使

， 令

由，知，显然的特征值全为零，所以是幂零矩阵.又

所以是幂零矩阵；因为

所以也为幂零矩阵.

性质 3.设数域上的级幂零矩阵的最小多项式是，其中是的幂零指数.

证明：由于是的幂零矩阵，所以，所以是一个以为根的多项式.因此的最小多项式是的因式.又因当0lt;lt;时, ,则的最小多项式是.

性质 4.设为同阶且可交换的幂零矩阵，则，为幂零矩阵. ^[4]

证明:为级幂零矩阵，令分别为它们的幂零指数,取.

由，有

当时，，从而，得到

当时，显然有，得到

所以，即 是幂零矩阵.取，因为 ，有

即也是幂零矩阵.

性质 5.幂零矩阵的相似阵是幂零矩阵，并且它们的幂零指数相等.

证明:令是级幂零矩阵，其幂零指数为.设，则存在级可逆矩阵，使得.于是对任意正整数，有.从而.因此是幂零矩阵.当lt;时，假如，则，这与是的幂零指数矛盾.因此当lt;时，.从而的幂零指数为.

性质 6.数域上的所有指数为的级幂零矩阵彼此相似.

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