基于比率和时滞依赖的捕食-食饵系统的随机模型

论文总字数：5046字

摘 要

关键词:随机捕食-食饵系统,伊藤公式,随机最终有界

Abstract: A class of two species stochastic Lotka-Volterra predator-prey system is discussed . We show that under a suitable hypothesis on the environmental noise, the stochastic Lotka-Volterra system has a unique global positive solution and this positive solution will be stochastically ultimately bounded.

Keywords: Stochastic Lotka-Volterra predator-prey system, Ito formula, stochastically ultimatically boundedness

目录

1.前言……………………………………………………………………………3

2.准备工作………………………………………………………………………5

3.基于比率与时滞依赖的捕食--食饵系统的全局解…………………………6

结论………………………………………………………………………………9

参考文献…………………………………………………………………………10

致谢………………………………………………………………………………11

1.前言

研究者对捕食食饵系统的研究持续不断。20世纪20年代Vito Volterra 问是否有可能解释Adriatic海中对鱼种群数量所观察到的波动，渔民们非常关注这种波动，特别是出现少鱼群的时间.在假设鲨鱼与鱼处于捕食者-被捕食着关系的基础上，Volterra(1926)构造了一个模型，后来称她Lotka-Volterra模型（因为A，J.Lotka(1925)在同一时间不同场合也构造了一个类似的模型）.

这里描述的模型是按Volterra建议的，设和y(t)为在t时刻鱼与鲨鱼的数量，假设为鱼提供的浮游生物是无限制的，因此，鱼种群的平均增长率在没有鲨鱼时是常数，从而，如果没有鲨鱼则鱼种群满足微分方程.另一方面，鲨鱼以鱼为它们的食物，假设没有鱼时鲨鱼的平均死亡率是常数，因此，在没有鱼时鲨鱼种群满足微分方程.假设鱼的出现使得鲨鱼的平均增长率由增长到，鲨鱼的出现使得鱼种群的增长率由变为，这就给出了Lotka-Volterra方程

.

我们不能解析求这个系统，但可以得到它的解的性态的某些信息.Lotka-Volterra 模型代表早期种群生物学尝试用数学建模的一个成功.

Rosenzweig和MacArthur, Rosenzweig和Maynard Smith分析了捕食者-食饵的作用，提出了一类比Volterra模型和Leslie模型更为真实的模型，即Rosenzweig-MacArthur模型

其中a,b,e,k均为正常数，1965年，Holling在实验的基础上，对不同类型的物种，提出了三种不同的功能性反应函数“R-M模型”在文献中通常被称为具有Holling II类功能性反应的捕食者-食饵系统，对于“R-M模型”，许多学者进行了深入研究. Rosenzweig和MacArthur用图表法合数值法研究了“R-M模型”的稳定性，近几年，陈兰荪和井竹君用

微分方程定性分析的方法对“R-M模型”作了详细完整的分析，讨论了极限环的存在性和唯一性；Hsu和Huang研究了“R-M模型”的全局稳定性.最近，这一模型的非自治情形受到学者的重视.贾建文，胡宝安考虑非自治系统的周期解存在性与全局吸引性问题，范猛，王克则进一步考虑了时滞的系统，利用重合度理论得到保证系统存在正周期解的充分性条件.

近些年来，随机微分方程被广泛的研究，特别是随机Lotka-Volttera 捕食-食饵种群动态系统被广泛研究。传统的两种群自治或非自治的确定性的Lotka-Volttera捕食-食饵模型的形式为

,

, (1.1)

这里的和分别表示食饵种群和捕食者种群的密度。然而，种群的变化难免会受到环境噪声的影响，这种影响是生态系统中的一个重要成分.

本论文把环境噪音的因素考虑在系统（1.1）中，我们研究基于一类比率与时滞依赖的捕食-食饵系统

（1.2）

这里的 a,b,c,d，f,m都为参数，a/bgt;0 表示食饵种群承载能力，dgt;0表示捕食者种群的自然死亡率，a,c,m,f都为非负数且分别表示内禀增长率，最大食饵消耗率，半饱和常数和转化率。这里的环境污染，称它为白色噪音， 表示白色噪音的强度，是标准的布朗运动.

这篇论文中我们研究系统（1.2）我们的工作就是在适当的环境污染假设下，随机Lotka-Volterra 捕食-食饵系统有唯一的正的全局解，而且这个正解是随机最终有界.

在这篇论文中我们将系统（1.2）化为

令

我们总是假设（H1） 为上的连续有界函数,为常数,且.

2.准备工作

I.定义1(见[8])：如果对于任意 ，有一个正的常数H=H()，对于任意初始值 系统（1.2）的解满足 ，

那么系统（1.2）被称为随机最终有界.

II.Chebychev不等式

设x： 是随机变量，存在某个p，0lt;plt; ,使得E[]lt; ,那么对于任意的 ，有 .

III.伊藤公式（公式 ）

设 是n维过程, 是从[0, ]x ,那么过程 也是一个过程，它的分量由下式给出：

,

这里 .

3. 基于比率与时滞依赖的捕食-食饵系统全局解的存在性

这里我们给出本文的所用结论：

定理1： 假如假设（H）成立，那么系统（1.2）对与任意初值, 在上 有唯一的正的全局解.

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