具Holling II类功能反应捕食-食饵系统的正周期解

论文总字数：7519字

摘 要

关键词：HollingⅡ类功能反应,正周期解,延拓定理

Abstract： Using the continuation theorem of coincidence degree theory, we study the prey-predator system with stage Holling Ⅱ class function,obtain the sufficient conditions for the existence of periodic solutions to the above system, and generalize the known results.

Keywords：Holling Ⅱclass, Positive periodic solution, Extension theorem

目 录

1.前言 3

2.预备知识 4

3.一类捕食-食饵系统的正周期解的存在性 5

结 论 14

参 考 文 献 15

致 谢 16

1 前言

长期以来，生态系统的正周期解的存在性问题是受到学术界重视的问题.Rosenzweig和MacArthur,Rosenzweig以及Maynard Smith 分析了捕食者-食饵的相互作用,提出了一类比Volterra模型和Leslie模型更为真实的模型,即Rosenzweig-MacArthur模型

(1.1)

其中 为正常数.1965年,Holling在试验的基础上,对不同类型的物种,提出了三种不同功能性反应函数.“R-M模型”在文献中通常被称为具有HollingⅡ类功能性反应的捕食者-食饵系统,对于“R-M模型”,许多学者进行了深入的研究,有关更多细节,请参阅文献[1]—[4]和[6]—[9]和其中的引用.

王稳地和陈兰荪较早考虑了阶段结构的捕食系统,在文献[11]中,他们在假设幼体转换成为成体的转化量与其幼体的数量成正比之后得到相对于系统（1.1）的具有阶段结构和HollingⅡ类功能性反应的捕食-被捕食系统

(1.2)

其中分别是捕食者幼体、成体的死亡率,且是常系数.他们分析了上述系统持久性,轨道稳定周期解的存在性及正平衡点的存在性和吸引性,得到了一些非常好的结论.其中一个主要结论为：

定理1 假设

(1.3)

则系统(1.2)是永久持续生存的并且系统（1.2）有唯一的正平衡点.

本文中我们进一步考虑如下系统：

(1.4)

其中分别表示食饵,幼体捕食者,成体捕食者的数量和密度,分别表示幼年捕食者,成年捕食者的死亡率.其中都是变系数.所有的系统的系数都是正的ω－周期连续函数.表示从幼体到成体的转化率. (0lt;1)表示从食饵到捕食者的转化系数.

2相关准备工作

为了证明周期解的存在性,我们引入重合度理论中的延拓定理.

设是赋范向量空间,为线性映射,为连续映射,如果且是中闭子集,则称映射为指标为零的Fredholm映射.如果是指标为零的Fredholm映射且存在连续投影以及使得则可逆,设其逆映射为设为中有界开集,如果有界且是紧的,则称在上是紧的.由于与同构,因而存在同构映射.

引理1（延拓定理）设是指标为零的Fredholm映射,在上是-紧的,假设

(a)对任意的(0,1),方程=的解满足;

(b)对任意的而且,则方程在中至少存在一个解.

本文使用如下记号

.

其中是连续的正的周期函数,下面叙述本文的主要结果.

3系统（1.4）的正周期解的存在性

定理2 如果

(3.1)

则系统(1.4) 至少存在一个正的周期解.

证明：考虑系统

(3.2)

这里所有系统(3.2)的系数均与系统(1.4)的系数一样.容易看出,如果系统(3.2)有周期解则是系统(1.4)的正的周期解.因此为了完成定理2的证明,我们只需要证明系统(3.2)的周期正解的存在性.取

记

,

则X与Z在范数下是Banach空间.注意到由的周期性可知

,

,

,

都是连续的周期函数.令

则有是中的闭子集,且故是指标为零的Fredholm映射.容易证明是连续投影且使得因此的逆映射存在,且

.

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