常数变异法在微分方程求解中的应用

论文总字数：8021字

摘 要

关键词: 常数变易法,齐次,通解

Abstract: The variation of constants method is an effective method for solving first order inhomogeneous linear differential equations, we will start from the solution of first order nonhomogeneous linear differential equation, which is extended to solve higher-order nonhomogeneous linear differential equation, and basic idea of variation of constants method for solving steps and its general formula are obtained.

Keywords: The variation of constants method, homogeneous, general solution

目 录

1 引言 3

2 常数变易法在一阶非齐次线性微分方程求解中的应用 4

3 常数变易法在高阶非齐次线性微分方程求解中的应用 8E:论文hysf2014王敏毕业论文王敏论文王敏.docx - _Toc8442#_Toc8442

结 论 15

参 考 文 献 16

致 谢 17

1 引言

常数变易法是常微分方程学科所特有的一种方法,是连接非齐次线性微分方程与对应齐次线性微分方程的桥梁.它是十八世纪数学家采用各种特殊的技巧对付不同的方程,而产生的解常微分方程的数学理论.它是由约翰第一·伯努利首先提出,欧拉和拉格朗日推广沿用至今的解微分方程的特殊的技巧.常数变易法实际上亦是一种变量变换的方法,用它求解一阶非齐次线性微分方程与变量变化并无原则区别,但将它推广至高阶线性微分方程就显示出了它的作用之巨大.它的优点是比变量变换更容易掌握,是一种稳定的求解方法,其本身的思路已经是完善的了,运用广泛,能够解一阶线性微分方程（组）和高阶线性微分方程.常数变易法求解有两种方法,一是利用常数变易法的基本思路步骤来进行求解,二是直接用其推导出来的常数变易法的求解公式.本文,我们将推导出常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程步骤及求解公式,从而推广至求解高阶非齐次线性微分方程的步骤及求解公式.

那么常数变易的思想是如何提出来的呢？在微分方程发展最初期,不仅人们所认识的方程类型非常有限,所用到的解决方法也非常简单,初等积分的方法即为其中之一,这种方法需要将不同形式的方程转化为可以积分的形式.对于一阶齐次线性微分方程

,

可以用变量分离的方法解得对于一阶非齐次线性微分方程

,

注意到其解是的函数表达式,所以方程右端可以写为:

(尽管此时表达式未知),

这时即可分离变量,将方程写为:

,

从而形式上可积分,得,因为其中的未知,所以未知,可以记为，即该方程的形式解为,将该形式解带入原方程解之可得表达式,再代入形式解可得通解.对比非齐次线性微分方程与相应齐次线性微分方程,两者通解在形式上的差别就在于后者中的常数在前者中变易为函数,这也正是常数变易法的思路.

2 常数变易法在一阶非齐次线性微分方程求解中的应用

对于一阶线性方程

,

其中,在考虑的区间上是的连续函数.当时,方程变为

,

称为一阶齐次线性微分方程,也为可分离变量方程,只要分离变量积分之,就可以得到它的通解为.若,称为一阶非齐次线性微分方程.现在讨论非齐次线性微分方程通解的求法.

我们很容易想到,如果能找到一个变换使变为可分离变量方程,那么它的求解问题也就解决了.那么令怎样的变换能达到这个目的呢?我们容易想到齐次方程

,

只需引入新变量即就可以把变为可分离变量方程了,于是我们仿齐次方程引入新变量作变换

,

这里是的非零的待定函数.如果能把确定,且能把方程变为可分离变量方程,那么变换也就能确定了,方程的求解也就解决了.把变换代入,得

,

.

从可以看出,只要的系数为零,它就是一个可分离变量方程.即只要取就得取,得

,

代入得

,

这就是我们要找的变换.方程也就变成分离变量积分之,得 ,

将入,得方程的通解公式为

.

我们将将变换与方程对应的齐次线性方程的通解

,

作比较看出,只要将中的常数变易成的函数,就得到变换,

因此,我们常常把变换写成

,

也就是说,只要利用变换就可得出方程的通解公式,做法与上相同.这种将常数变易成为待定函数的方法,我们称为常数变易法.常数变易法实际上是一种变量变换的方法,通过变换可将方程化为变量分离方程.由于是的一个原函数，所以方程的满足初值条件的特解是

.

所以,综合以上,我们可以总结出求解一阶非齐次线性微分方程的一般步骤及通解公式,即

:通过可分离变量求出一阶齐次线性微分方程的通解.

:将通解中的常数变为,将变换后的解带入原方程得到变量可分离方程,从而解得一阶非齐次线性微分方程的通解,或者直接运用公式 .若满足初值条件,则运用

.

例1 求方程的通解.

解 法一 利用常数变易法的基本思路步骤来进行求解.

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