积分因子的求法及应用

论文总字数：5192字

摘 要

, ,

时方程的解法.最后推广到一般形式.

关键词：微分方程，积分因子，通解

Abstract： We need consider one order differential equation . First, we give the solution of the complete differential equation. Then, we should study this equation when integral factor has the form

, , .

The last, we can extend it to a general form.

Keywords：Differential equations, integral factor, general solution

目 录

1 前言...........................................................3

2 全微分方程及其通积分的求解方法.................................3

3 一阶微分方程的积分因子的求解方法及应用.........................4

3.1 具有形为积分因子的条件.........................4

3.2 具有形为积分因子的条件............................8

3.3 具有形为积分因子的条件......................11

3.4 推广成形为积分因子的条件..........................12

4 用分组法求得方程的积分因子并求其通解..........................13

结论............................................................14

参考文献........................................................15

致谢............................................................16

1 前言

物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的，要想探索这些规律，就要寻找满足某些条件的一个或者几个未知函数，并进行求解运算.

方程，是指那些含有未知量的等式，表达了未知量所必须满足的某种条件。如果在一方程中的未知量是数，这样的方程就称为超越方程.如果在一方程中的未知量是函数，这样的方程就称为函数方程.如果在一个函数方程中含有对未知函数的积分运算或者在积分号下有未知函数，这样的函数方程就称为积分方程.如果在一个函数方程中含有对未知函数的求导运算或微分运算，这样的函数方程就称为微分方程.只有一个自变量的微分方程称为常微分方程.否则称为偏微分方程.

微分方程的理论逐步完善，利用它可以精确的表达事物变化所遵循的基本规律，只需列出相应的微分方程，解出方程.从而,微分方程就成了最有生命力的数学分支.

但是常微分方程的通解的求法并不是显然的,甚至利用初等积分法无法得出其通解.但初等积分法又是常微分方程中最基础的部分.下面介绍几种具有特殊形式积分因子的方程的通解的求法.

2 全微分方程及其通积分的求解方法

如果微分形式的一阶方程

的左端恰好是一个二元函数的全微分，即

则称是全微分方程或恰当微分方程，而函数称为微分式的原函数.

定理1.1 假如是微分的一个原函数，则全微分方程的通积分为

.

其中为任意常数.

定理1.2 如果方程中的在矩形区域

上连续可微，则方程是全微分方程的充要条件是：在上有

.

且原函数为

.

全微分方程的通积分是

.

以上为全微分方程的求解公式，但是，方程未必都是全微分方程.

假如存在这样的连续可微函数，使方程

成为全微分方程，则称为方程的一个积分因子.

积分因子并非很容易观察出来，一般地，设都是连续可微的，对于微分方程，则积分因子必须满足关系式

其展开式：

.

这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程.要想通过求解这个方程来求积分因子，在一般情况下，将比求解原方程更困难.但对于若干特殊情况，求出的一个特解还是容易的.

3 一阶微分方程的积分因子的求解方法

下面提供几种具有特殊情形的积分因子的求解方法：

3.1 具有形为积分因子的条件

定理1 一阶微分方程具有形为积分因子的充要条件是：

.

其中，为不为零的常数.且积分因子为

.

证明 假设微分方程积分因子为，则

为全微分方程.

即有

.

令，则

此时有

即

，

,

两边同时积分，得

所以

即求得，积分因子为

.

例1 求方程的积分因子，并求得其通解.

解

令得

则积分因子为

方程两边同乘以积分因子得

化简得

得

从而方程的通解为

.

特别地，

若，则

即方程有只含的积分因子.

若，则

即方程有只含的积分因子.

若，则.

若，则.

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