常微分方程稳定性研究的若干方法

论文总字数：5327字

摘 要

关键词:微分方程，稳定性，李雅普诺夫第二方法

Abstract：This paper introduces the concept of stability of ordinary differential equations, leads to the second Lyapunov method, the key to this approach is that in the case of equations does not seek to construct a Lyapunov function , and then calculated by equations symbolic nature of the derivative, directly infer the stability of the solution.

Keywords：Differential equation,stability, Lyapunov second method

目 录

1. 前言 3

2. 定义法 3

3 李雅普诺夫第二方法 6

3.1 李雅普诺夫函数概念 6

3.2 李雅普诺夫基本定理 6

结论 11

参 考 文 献 12

致 谢 13

2. 前言

求解微分方程一直是是研究方程稳定性的最重要的内容之一.随着研究的深入和拓展,人们遗憾地发现可以解析求解的常微分方程类型少之甚少.在19世纪中叶，通过刘维尔^[1]的工作,绝大多数的微分方程不能够用初等积分法来求解已经被人们所知道.这个结果对于微分方程理论的发展产生了巨大的影响,使得微分方程的研究发生了一个重要的转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以在不求微分方程的解的情况下,通过微分方程本身来推断其解的性质呢？稳定性理论和定性理论正是在这种背景下发展起来的.

稳定性问题是微分方程定性理论研究的重要内容之一.它起始于力学,刻画了一个刚体运动的平衡状态,通常说这个平衡状态是稳定的,就是说刚体在受到干扰力的作用从原来位置微微移动后,仍回到它原来的位置；反之,它趋于一个新位置,此时我们说平衡状态是不稳定的.

定性理论由法国数学家庞加莱^[2]在19世纪80年代创立,庞加莱顺应科学发展的趋势,在微分方程求解中引入定性思想,突破了原有的微分方程求解的思维束缚,这是微分方程研究历史上的一次重大飞跃.稳定性理论则由俄国数学家李雅普诺夫^[3]在同年代创立,它是在定性理论的基础上发展起来的,是定性理论的进一步完善.虽然李雅普诺夫的稳定性理论以定性理论为研究基础,但是在研究内容、研究方法以及研究范围上还是存在差异，体现出李雅普诺夫用创新代替盲从，为科学的发展开辟了崭新的道路.而它们共同的特点就是不求方程解,而是直接依据微分方程本身的特点和结构,进而研究其解的性质.因为这种方法十分有效,所以它们已经成为近一百多年以来常微分方程发展的主流.

2. 定义法

首先讨论定义法，也就是利用稳定性概念^[4]判断稳定性的方法.考虑以下微分方程组

（2.1）

其中，对于函数而对于,则满足局部李普希茨条件^[5].

假设微分方程组（2.1）在初值上存在唯一解,其他解则记作.现在引发我们思考的是：当很小时，差的变化是否同样也很小？本文向量的范数取作.

若所要考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性.现在如

果要考虑解的存在区间是无穷区间，那么该解对初值则不一定有连续依赖性，因此产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.

若对任意给定的，只要使得

就有

,

对于一切的都成立，就称微分方程组（2,1）的解是稳定的.否则,是不稳定的.

假设是稳定的，同时存在,使得

只要

就有

,

则称微分方程组(2.1)的解是渐进稳定的.

为了讨论的简化，通常我们把解的稳定性转化成零解的稳定性问题.以下记,,作如下变量的代换.

令

（2.2）

则

因此，在变换（2.2）下，将微分方程组（2.1）转化成

（2.3）

其中.

这样，关于微分方程组（2.1）的解的稳定性问题，就转化为了系统（2.3）的零解的稳定性问题.于是，我们在下文中只需考虑（2.1）的零解的稳定性，即假设

,并有如下定义：

定义2.1 若对任意，存在，使当时有

（2.4）

对所有的成立，则称（2.1）的零解是稳定的，反之，则是不稳定的.

定义2.2 若（2.1）的零解是稳定的，且存在，当时有

,

则称系统（2.1）的零解是渐近稳定的.

运用稳定性概念的方法,我给出以下例子.

1. 考察系统

的零解的稳定性.

解 不妨取初值时刻，对于任一上，方程组满足初值为的解为

其中.

对于任意，则当时，有

.

因此该系统的零解是稳定的.

又由于

,

所以该系统的零解是渐近稳定的.

根据上面内容可以发现，单由稳定性的概念，要判断系统解的稳定性，这样的应用范围是非常有限的.因此，我们引出了李雅普诺夫第二方法来处理稳定性问题.

2. 李雅普诺夫第二方法

该方法的关键就是在不求方程解的情况之下,构造一个李雅普诺夫函数^[5],再通过微分方程计算出的导数符号的性质，直接推断出其解的稳定性.因此,又称直接法^[6].

3.1 李雅普诺夫函数概念

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