浅谈等价无穷小在高等数学解题中的应用

论文总字数：5468字

摘 要

本文主要是在等价无穷小定义及性质的基础上，概括总结出等价无穷小在高等数学中的几类典型应用.一方面，阐述了等价无穷小在求解函数极限中的应用，主要包括在求解和（差）函数极限、幂指函数极限、含变上限积分函数极限以及二元函数极限中的应用.另一方面，给出了等价无穷小在高等数学中的其他方向应用，包括在判别正项级数收敛性，近似计算中的应用.

关键词：等价无穷小，函数，极限，级数，近似计算

Abstract：本文主要是在等价无穷小定义及性质的基础上，归纳总结等价无穷小在高等数学中的几类典型应用。一方面，给出了等价无穷小在解函数极限中的应用，主要包括在求解和（差）函数极限、幂指数函数极限、含变上限积分函数极限以及二元函数极限中的应用。另一方面，给出了等价函数在高等数学中的第二方面应用，包括在判别正项级数收敛性，近似计算中的应用。并以某些典型例题为例，通过对例题的求解加深巩固不同类型题的求解方法。

Based on the definition and properties of equivalent infinitesimal, we summary several typical applications of equivalent infinitesimal in Higher Mathematics. On the one hand, we provide the application of equivalent infinitesimal in the function limit operation, including limit of sum and difference function, limit of power-exponent function, limit of variable upper limit function, and the application limit of a function of two variables. On the other hand, we also provide other application of infinitesimal equivalence in Higher Mathematics, which includes about recognizing convergence criterion in series of positive terms and application of approximate calculation .

Keywords：equivalent infinitesimal, function, limit, series, approximate calculation

目录

1 前言……………………………………………………………………………3

2 等价无穷小……………………………………………………………………3

2.1 等价无穷小的定义…………………………………………………………3

2.2 等价无穷小的性质…………………………………………………………3

2.3 常用的等价无穷小…………………………………………………………4

3 等价无穷小在求解函数极限中的应用………………………………………4

3.1 用等价无穷小计算和（差）函数的极限…………………………………4

3.2 用等价无穷小计算幂指函数的极限………………………………………6

3.3 用等价无穷小计算含变上限积分函数的极限……………………………8

3.4 用等价无穷小计算二元函数的极限 ……………………………………10

4 等价无穷小在判别正项级数敛散性中的应用 ……………………………12

5 等价无穷小在近似计算中的应用 …………………………………………13

参考文献…………………………………………………………………………14

1 前言

等价无穷小是高等数学中基本的观念之一，在高等数学中拥有极其重要的地位．它在求解函数极限，判断级数敛散性以及在近似计算中都有良好的性质，充分地理解掌握并运用这些性质，在这个过程当中会有意想不到的结果．然而在高等数学教材中只强调等价无穷小在因式中出现乘除时才能使用．但是，在实际解题中等价无穷小的应用范围更宽泛．本文突破了高等数学教学中等价无穷小应用的局限性，拓宽了等价无穷小的应用范围，更简化了求解一些复杂问题的过程．

在高等数学中，有许多求函数极限的方法．其中，等价无穷小代换作为一种求极限的方法不仅能简化计算过程，并且大大降低了错误率．在一般情况下，判别复杂级数收敛性，常常不知选用何种收敛法．但对于一类特殊级数应用等价无穷小替换往往可以轻易判别该级数是否收敛．

然而，如果不合理地使用等价无穷小替换，就会出错，有的时候还很难地判断出错在什么地方．对此，本文根据等价无穷小的定义及性质，归纳出能利用等价无穷小求解的几类题型，有助于正确无误地解决问题，达到简单方便的目的．

2 等价无穷小

2．1 等价无穷小的定义

,那么称当时，是等价无穷小，记为

．

这里的可为有限数，也可为无限数．

2．2 等价无穷小的性质

，且则有

该性质实际上给出了求极限的一种解题方法，利用它可以计算某些复杂的函数积的极限．然而，该性质的适用范围只对函数乘积中的部分或整个因子作为替换，而不能对和（差）函数极限作直接的替换．

2．3常用的等价无穷小

在求解问题的过程中，常见的等价无穷小如下：

，

；

.

3 等价无穷小在求解函数极限中的应用

求解函数极限的方法有多种，例如：定义法、利用重要极限、洛必达法则、泰勒展开式、等价代换等等，其中无穷小等价代换求极限是一种极为重要的求解方法，掌握它的性质可以使某些复杂的极限问题变得非常简单．

3.1 用等价无穷小计算和(差)函数的极限

例1^[1] ．

分析 若对本题直接应用等价无穷小，则有

（ ）,

进而有

．

结果清楚地看到是错误的，因为等价无穷小替换只能是因式中出现乘除时才能使用，对于因式中的和(差)函数是不能直接使用的．而利用泰勒展开式选取恰当的等价无穷小代换可求得准确答案．

解 由泰勒展开式得：

，,

从而有

有时候泰勒展开式解此类函数极限问题可能较为复杂，为简化计算，引入：

引理1^[2] 时的无穷小量，且，，若，则：

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