泰勒公式的某些应用

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摘 要

泰勒公式是数学分析中的重要内容之一。本文论述了泰勒公式的基本内容，并着重从五个方面介绍了泰勒公式在解决数学问题中的一些应用：利用泰勒公式证明恒等式和不等式，求极限，判断级数的敛散性；除此以外，我们还可用泰勒公式求两个数的最大公因数.希望为某些问题的解决,提供解题思路。

关键词:泰勒公式; 应用; 不等式; 极限; 级数敛散性。

Abstract: Taylor"s formula is an important knowledge in the mathematical analysis．In this paper，we study its applications in the mathematical analysis in five facets in general：by using Taylor’s formula ,we can use it to prove the equalities and inequalities，to solve the limits, to study the convergence of sequences. Besides we can use Taylor"s formula to find the greatest common divisor between two numbers. We hope to provide some inspire for solving the mathematical problems.

Keywords:Taylor"s formula, application, inequality, limits, convergence of sequences

目录

1.前言 …………………………………………………………………………………5

1.1泰勒公式的介绍 …………………………………………………………………6

2．泰勒公式在数学分析中某些问题的应用 …………………………6

2.1 用泰勒公式求极值 …………………………………………………6

2.2 用泰勒公式证明等式和不等式 …………………………………7

2.3 用泰勒公式证明级数敛散性 …………………………………8

3.泰勒公式在代数中某些问题的应用 …………………………………9

3.1 用泰勒公式解行列式………………………………………………9

3.2 用泰勒公式求两个数的最大公因数…………………………12

4.结论 ………………………………………………………………………………14

5.参考文献…………………………………………………………………………15

6.致谢…………………………………………………………………………………16

1. 前言

随着近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒、笛卡尔、费马等人。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。同时随着人们对泰勒公式越来越深入的了解，它在数学学习中起到越来越重要的作用，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，应用它我们解决了许多实际问题，如求极限；证明等式和不等式；判断级数敛散性等，泰勒公式的学习和研究是我们数学学习必不可少的一部分。

泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面发挥了很大的作用，但是即便泰勒公式在数学的各个领域都有应用，但同样也有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其解题中的应用我们仍由研究的必要，并且有着相当的空间。

泰勒公式在数学的发展中起着举足轻重的地位，许多题目都可以应用它得到简化从而得到解决。在参考文献[1]中介绍了泰勒公式的概念及一些简单的应用，可以了解到了泰勒公式基础性的知识。在参考文献[2,8,9-11]中，各位学者通过一些较为复杂的例题进一步加深我们对泰勒公式应用的理解。在参考文献[3-4]中给出了泰勒公式一些其他的应用。本文将在前人工作的基础上,对泰勒公式应用进行归类总结,其方法为其他问题解决提供某些思路和启发.本文的研究目标是探索泰勒公式及其应用的新方法。借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学集体的各个方面和领域中去，得到泰勒公式在数学各面方便的应用和求解方法的便性。本文所涉及到的内容不仅有我们所经常用到的内容，还有一部分是我们不常见的泰勒公式的应用，这对于想补充一下自己的课外知识的学者是很有帮助的。虽然例题不是很多，但很经典，只要深入去把握并挖透习题，了解其中的方法就可以“以不变应万变”。

本文分四章，第一章简单地介绍了解泰勒公式；第二章通过一些例题展示泰勒公式在数学分析中某些知识点的应用；第三章通过一些例题展示泰勒公式在代数中某些知识点的应用；第四章为结论。全文主要通过典型例题，用归类的方法，阐述泰勒公式在数学中某些领域的应用，比较系统地介绍了泰勒公式在解题中的应用。

1.1 泰勒公式的介绍

定理1 若函数在点存在直至n阶导数，则有 ，即

上式称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺型余项。所以上式称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。

定理2 若函数在上存在直至阶的连续导函数在内存在阶导函数则对任意给定的，,至少存在一点使得

上式的余项为

称为拉格朗日型余项，上式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.

1. 泰勒公式在数学分析中某些问题的应用

在数学分析中学到泰勒公式时，我们体会到了微积分“逼近法”的精髓，知道了通过将一些式子转换从而得到达到简化的效果。下面让我们一起来看看泰勒公式在求极限，判断级数敛散性，证明不等式中的应用。

2.1应用泰勒公式求极限

用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替换来计算极限。我们知道

等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项。有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小结合。问题就能进一步简化。

例1求极限 .

分析：本题虽然符合洛必达求极限的条件，但在操作过程相当繁琐，不如试一试泰勒公式展开替换。

解 利用展式

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