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摘 要

不等式是解决数学问题的重要工具，其中几个重要的不等式在数学中的应用很广泛，在解决生活问题时也被常常用到。本文首先介绍Jensen不等式、柯西不等式和均值不等式的定义，然后通过举例说明这几个重要的不等式在证明不等式、求函数最值、比较大小等方面的应用。从而进一步加强对Jensen不等式、柯西不等式和均值不等式的理解。并能灵活应用。

关键词：Jensen不等式，柯西不等式，均值不等式，应用

Abstract: Inequality is an important tool to solve mathematical problems. There are several important inequalities, which are widely used in Mathematics or in solving problems in life. In the paper, firstly, we introduce the definitions of Jensen inequality, Cauchy inequality and the average inequality. Secondly, we give some examples to prove the appliance of these important inequalities, such as the proof of inequalities, the maximum and minimum of function, and which is bigger given two numbers. So that it can strengthen the knowledge of the Jensen inequality, Cauchy inequality and the average inequality. What"s more these important inequalities will be flexibly applied.

Keywords: Jensen inequality, Cauchy inequality, Average inequality, application

目录

1 引言 4

2 Jensen不等式及其应用 5

2.1 Jensen不等式简介 5

2.2 Jensen不等式的应用 6

2.2.1 证明不等式 6

2.2.2 求最值 7

3 柯西不等式及其应用 8

3.1 柯西不等式简介 8

3.2 柯西不等式的应用 8

3.2.1 证明不等式 8

3.2.2 求最值 9

3.2.3 推导距离公式 10

4 均值不等式及其应用 11

4.1 均值不等式简介 11

4.2 均值不等式的应用 11

4.2.1 求最值 12

4.2.2 证明不等式 12

4.2.3 比较大小 13

结论 15

参考文献 16

致谢 17

1 引言

在数学的世界里，相等是一种美好的关系。但是这种美好的相等关系毕竟是少数的，在现实世界中绝大多数存在的还是不等关系。不等式是阐述不等关系最好的模型。在分析数学中，很多著名的数学家在不等式方面作出了杰出的贡献，正因为于此，后人用他们的名字命名了许多著名的不等式，如柯西不等式，琴生不等式，切比雪夫不等式等等。不等式的初步酝酿到最后的提出是一个极其艰难的过程，它本身反映的是两者之间的一种不等关系，要想使得这种关系在某种特定条件下始终保持成立，就要进行证明。后人用了多种方法对数学大师们所提出的不等式加以证明，并且这些不等式之间还可以相互应用。

由于不等式的证明难度大，灵活性强，技巧性高，因此与之相关的题目就成为了各类数学考试以及竞赛中的“高档”试题。而且证明不等式同大多数高难度数学考试、竞赛问题一样，通常是没有固定模式的，证法因题而异，灵活多变，需要较强的技巧性。但它也有一些常用的方法，如比较法，分析法，综合法，反证法，换元法，数学归纳法等等。在数学科学几乎所有的分支中，不论是几何，数论，函数或组合数学中的问题，都可能与不等式有关，这就使得在中学各种竞赛、中考、高考、考研、专升本等各类考试中，经常出现有关不等式的题型。不等式不论是在是初等数学或是高等数学中，都是一种被广泛应用的解题工具。在解题过程中若能灵活地运用柯西不等式，就能让解题思路变得简单便捷并且别致新颖。

从20世纪90年代开始，有关不等式的问题就成为了热门的研究话题。在初等数学、高等代数、数学分析、微分方程等领域都有着广泛的应用。目前，随着不等式的应用越来越广泛，几个重要不等式也越来越受重视，研究Jensen不等式、柯西不等式和均值不等式有巨大的实用价值，围绕这几类不等式的重点知识内容展开的论文有许许多多。刘学飞在参考文献[2]中介绍了Jensen不等式及其推论，并通过构造辅助函数，利用Jensen不等式完成了对一类初等不等式的证明。林越在参考文献[3]中研究了Cauchy-Schwarz不等式的三种不同形式：代数形式、向量形式和积分形式，并对三种形式分别给出了不同的证明。伏春玲和董建德在参考文献[4]中对均值不等式在指数方面进行了推广，并且从“n个正数的算术平均数大于等于几何平均数”这一重要不等式深入到了“加权算术平均值的函数与函数值的加权算术平均值之间的关系”，继而得出了“n个正数的加权算术平均数不小于它们的加权几何平均数”的结论。另外，还有众多学者研究了这几类不等式在不同方面的应用，如参考文献[7-12]中介绍了Jensen不等式、柯西不等式和均值不等式的各种应用，并分别给出了精彩的例题。

受上述参考文献研究成果的启发，笔者决定本文研究Jensen不等式、柯西不等式和均值不等式这三个重要不等式的应用。本文从几类重要的不等式定义出发，分别研究Jensen不等式、柯西不等式和均值不等式在证明不等式和求最值等方面的应用，并给出相应的例题，最后进行归纳总结。本文分三个章节来阐述主要内容。第一章是Jensen不等式及其应用，这一章分两个小节，分别是介绍了Jensen不等式简介和 Jensen不等式的应用，并从证明不等式和求最值两方面来介绍Jensen不等式的应用。第二章是柯西不等式及其应用，这一章分两个小节，分别是柯西不等式简介和分别从证明不等式以及求最值两方面介绍了柯西不等式的应用。第三章是均值不等式及其应用，这一章分两个小节，分别是均值不等式简介和分别从证明不等式、求最值和比较大小三个方面介绍了均值不等式的应用。

2 Jensen不等式及其应用

2.1 Jensen不等式简介

在高等数学中，Jensen不等式是一个较为典型的不等式，它与凹函数和凸函数有着密切的联系。将Jensen不等式作为基础不等式可推得在高等数学中一些常见的重要不等式，如柯西不等式、均值不等式、不等式和不等式等。因此，研究、推广、应用Jensen不等式是非常有意义的。以下是Jensen不等式和它的两个推论。

定理1（Jensen不等式） 函数为上的函数，对任意，﹥，，若为凸函数，则有

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