行列式计算的思想及方法

论文总字数：5733字

摘 要

：行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学与实际问题中也有着广泛的运用，所以理解并掌握行列式的计算就显得非常重要．本文针对行列式的结构特点，归纳总结了行列式计算的若干解题思想，如消去思想、分解思想、构造思想等等，并通过实例加以说明．

关键词：行列式，行列式计算，思想与方法

Abstract: Determinant is one of the basic and important contents in advanced algebra, which is also used widely among mathematics and practical problems. Thus, it is very important to understand and master the calculation of determinant. This paper will focus on the structural characteristics of the determinant, and summarized a number of problem-solving ideas of determinant calculation, like elimination ideas, decomposition ideas, construct ideas and so on, then it will prove through the way of examples.

Keywords: determinant, determinant calculation, ideas and methods

目　　录

1　引言……………………………………………………………………………4

2　行列式的解题思想与方法……………………………………………………4

2.1　消去的思想方法……………………………………………………………4

2.2　分解的思想方法……………………………………………………………4

2.3　构造的思想方法……………………………………………………………6

2.4　归纳的思想方法……………………………………………………………7

2.5　分析与综合的思想方法……………………………………………………8

2.6　猜想的思想方法……………………………………………………………9

2.7　降阶与递推的思想方法……………………………………………………11

结论………………………………………………………………………………14

参考文献…………………………………………………………………………15

致谢………………………………………………………………………………16

1 引言

行列式是高等代数中的一个重要内容．其中行列式的计算没有通用且简单的方法，即使对于同一道题，利用不同的解题思想也会产生不同的求解方法．本文讨论行列式计算过程中所涉及的一些解题的思想，如分解思想、构造思想、猜想思想等等，这些解题思想的运用不仅可以简化行列式的计算过程，也可以解决一些难以求解的行列式的计算问题．

2 行列式的解题思想与方法

2.1 消去的思想方法

由行列式的定义可知，阶行列式的值是个乘积项的代数和．当较大时，是一个相当大的数，因此直接从定义来计算高阶行列式是非常困难的．

行列式计算的消去思想是利用行列式的性质，通过消元将行列式的某行（列）化简为含较多的零时，依该行（列）将行列式展开；或将行列式化为上（下）三角行列式后确定其值．

例1　计算行列式．

分析　观察本行列式，其对角线为，其余元素均为2，可以考虑用消去的思想，将其化简为阶的上三角行列式．

解　将第一行的倍加到第行，得

．

小结　对于由数字组成的高阶行列式，考虑用消去的思想方法将其化简，得到相对低阶的行列式，最后再进行求解．

2.2 分解的思想方法

在数学解题中，经常会遇到一些直接求解比较困难的问题，若根据题目的特点，将其转化为若干个易于求解的小问题，通过相加、相乘等合成得到原问题的整体解决，此即为数学的分解思想．

行列式的计算中的分解思想大多是根据行列式的有关性质和运算规则，将一个行列式分解成两个或几个行列式的和或积的形式，借助于分解的行列式的确定解决原问题．

例2　计算级行列式．

分析　本行列式对角线上均为，而对角线以上与以下又分别为与，根据性质，可以将行列式的最后一行或最后一列进行分解，再分别对得到的两个行列式进行化简，最后利用上（下）三角行列式的形式计算其结果^[1]．

解 将第行写成两项的和再分成两个行列式得

，

将第一个行列式的第行分别加到前面各行得

．

同理

，

将第一个行列式的第列分别加到前面各列得

．

联立上面两式得

，

消去，解得

．

小结　这样对角线两边对应呈相反数且对角线上数值相等的行列式，可以将其看作是两个或多个行列式相加的形式，利用分解的思想来解行列式，找出相加的各项，分别列出再一一计算．

2.3 构造的思想方法

构造的思想是根据数学问题的条件或结论所具有的特征，通过观察与思考展开联想，构造数学模型，通过对这个数学模型的研究去实现原问题的解决．构造的思想是一种创造性思维活动，具有思维的试探性、不规则性和创造性^[2]．

应用构造思想解决问题的关键在于：

1. 要有明确的方向，即为什么构造；
2. 弄清条件的本质特点，从而明确构造什么，如何构造，以达到解题目的．

在行列式的计算中应用构造的思想方法，主要利用行列式的性质，构造与原行列式恒等的特殊行列式、与原行列式相关的函数行列式或线性方程组等等．解决行列式的计算问题．

例3　计算行列式的值，其中．

分析　对角线上是两个数相加的形式，运用构造中的加边法，构造的恒等行列式，增加一行一列使结果不变^[3]．

解

．

小结　加边法适用于除对角线上元素外，各行对应的元素分别相同的行列式．构造法不止加边法一种，需要运用敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思和创造性的思维等能力去构造能使行列式成立的恒等行列式^[4]．

2.4 归纳的思想方法

归纳法是通过解决特殊化的问题，归纳出解决一般性问题的思想方法．对于结论与自然数有关的数学问题，往往都可以通过数学归纳法来解决．数学归纳法以自然数最小原理的归纳公理为理论基础^[2]．

常用的数学归纳法有第一数学归纳法和第二数学归纳法．

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