一题多解在数学中的应用

论文总字数：8371字

摘 要

：一题多解是对同一问题从不同的角度，不同的结构形式，不同的相互关系，从而产生不同的思路去解答．一题多解的有效利用需要快速整合所学知识，加深思维深度，提高思维能力．本文讨论了一题多解的方法与规律，并探讨了一题多解在数学分析、高等代数、解析几何及常微分方程中的应用．

关键词：一题多解，数学方法，发散性思维

Abstract: Multi-solution is to solve to the same problem resulting in a different way of thinking from different angles, different structure forms and different relationships. The effective use of multi-solution needs to the rapid integration of knowledge, deepen the depth of thinking and improve the ability of thinking. This article discussed the method and law of multi-solution and gave its application in the mathematical analysis, higher algebra and analytic geometry and ordinary differential equations.

Keywords: multi-solution, mathematic method, divergent thinking

目 录

1 引言……………………………………………………………………………………………… 4

2 一题多解的概述…………………………………………………………………… 4

2.1 一题多解的概念……………………………………………………………………… 4

2.2 一题多解的常用方法……………………………………………………………… 4

2.3 一题多解的原则……………………………………………………………………… 5

2.4 一题多解的关键……………………………………………………………………… 6

2.5 一题多解的意义……………………………………………………………………… 6

3 一题多解与发散性思维的关系……………………………………………………… 6

4 一题多解的运用………………………………………………………………………… 6

4.1 一题多解在数学分析中的运用…………………………………………………… 6

4.2 一题多解在高等代数中的运用 ………………………………………………… 10

4.3 一题多解在解析几何中的运用 ………………………………………………… 13

4.4 一题多解在常微分方程中的运用 …………………………………………… 15

结论 ………………………………………………………………………………………… 17

参考文献………………………………………………………………………………………18

致谢 ………………………………………………………………………………………… 19

1 引言

数学作为一门自然学科，有着极其重要的作用，但是由于思维定势产生的负效应，在解题时往往墨守成规，不仅使得数学学习的效率上不去，质量也上不去．因此要想学好数学，还是要在提高数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫．千变万化的数学题的离不开通性通法和基本知识的运用，如果在学习中注意运用一题多解，挖掘题目的内在关系，对掌握知识的实质非常有用．本文首先对一题多解进行理论上的解释，其次对常用方法进行实例展示，最后对一题多解在思维上的发散作用进行总结^[1] ．

2 一题多解的概述

2.1 一题多解的概念

所谓一题多解，就是从不同的角度，不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程．主要体现在没有唯一的、固定的模式，而是以其多样化的解题过程为明显特征．可以通过纵横发散、知识串联、综合沟通最终达到举一反三、融会贯通的目的．

2.2 一题多解的常用方法

一题多解从字面意义上看就是因为解题中所运用的数学思想不同而使得一道题目有多种解法，下面就对一些常用方法进行介绍．

（1）定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题．定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念．简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象．因此用定义法解题，是最直接的方法．

（2）数学归纳法

数学归纳法是等式、不等式的证明中比较常采用的方法之一，常用的有第一数学归纳法和第二数学归纳法．

第一数学归纳法：

1）证明时命题成立；

2）假设时命题成立，能推出时命题也成立，则命题对一切自然数成立．

第二数学归纳法：

1）证明，时命题成立；

2）假设时命题成立，能推出时命题也成立，则命题对一切自然数成立．

第一归纳法与第二归纳法的区别：第一归纳法只须成立时即可推出成立，而第二归纳法则要求成立时才能推出时命题成立．

（3）待定系数法

待定系数法即是为了要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法．其理论依据是多项式恒等；判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解．例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数等．

使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的方程；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．

（4）化归法

所谓“化归”从字义上说，就是转化和归结的意思．数学中的化归方法，就是将数学问题进行规范化，将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终解决问题的一种方法．

（5）参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题．

（6）换元法

常将某一变量看作另一变量的函数（从简单到复杂），或者把问题中复杂的解析式作为新的变量（从复杂到简单）处理，通过函数关系式或进行变量代换，得到结构简单便于求解的新问题．然后在新问题解出后，再由反函数或求得原问题的解，这种解题方法称之为变量代换法，又称为换元法．

（7）构造法

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