数学问题中近似计算的若干方法

论文总字数：7568字

摘 要

：在数学研究中，有时会很难求出问题的精确解，例如实际应用中简单的测量．当问题的精确解难以确定或不能确定时，我们往往会选择与其非常靠近的近似解来代替真值，因此近似解的确定就显得尤为重要．本文归纳总结近似计算的若干问题，即函数值的近似计算、方程根的近似及误差分析、定积分的近似计算、二项式分布的泊松近似以及误差与近似之间的关系，并通过典型的例题来确定几个常见的数学问题的近似解．

关键词：近似，近似计算，误差

Abstract: In the study of mathematics, sometimes difficult to find the exact solution of the problem, such as simple measurements of the practical application. When the exact solution of the problem is difficult to determine or not sure, we tend to choose their very close to the approximate solution to replace the true value, thus determining the approximate solution is particularly important. This article summarizes the approximate calculation, through typical examples to determine the number of common approximate solution of mathematical problems.

Keywords: approximation, approximation calculation, error

目 录

1 引言…………………………………………………………………………………………………………… 4

2 近似与误差………………………………………………………………………………………………… 4

2.1 近似的概念……………………………………………………………………………………………… 4

2.2 误差的概念……………………………………………………………………………………………… 4

2.3 近似与误差的关系…………………………………………………………………………………… 4

3 函数值的近似计算……………………………………………………………………………………… 5

3.1 微分法……………………………………………………………………………………………………… 5

3.2 泰勒公式法 …………………………………………………………………………………………… 5

4 定积分的近似计算 ……………………………………………………………………………………… 6

4.1 矩形法……………………………………………………………………………………………………… 6

4.2 梯形法 ………………………………………………………………………………………………… 7

4.3 抛物线法 ……………………………………………………………………………………………… 7

5 方程根的近似及误差分析 …………………………………………………………………………… 9

6 二项分布的泊松近似 ………………………………………………………………………………… 11

结论 ……………………………………………………………………………………………………………… 14

参考文献…………………………………………………………………………………………………………15

致谢 ……………………………………………………………………………………………………………… 16

1 引言

在实际应用中，例如测量、实验结果等，是很难给出精确值的．当问题的精确解难以确定或不能确定时，其近似解的确定就显得尤为重要^[1-2]．本文探讨近似计算的若干问题，如函数值的近似计算、定积分的近似计算、方程根的近似解及误差分析、二项式分布的泊松近似．在近似计算中，以误差为依据，由误差来确定问题的近似值，误差与近似是相互联系相互确定的关系．

2　近似与误差

• 1. 近似的概念

近似是指形态的接近或相似．在自然形态中，严格的绝对相同的形象是不存在的。即使相同大小的东西，它们的质量、物理结构也是不完全相同的．因此，自然界中更多的是大致想象而又不完全一样的情景普遍存在，比如蓝天的白云、海洋的波涛、植物、树叶、人的形象．取得近似的重要手法是求大同存小异，这样可以取得统一又富有变化的效果．

2. 2　误差的概念

（1）误差的定义　实践证明，在测量任何一个“量”时，不管工作者做得多么细致，使用的仪器多么先进和精密，采用的方法多么可靠和正确，测量结果总是与“真值”有一定的差别，总是“真值”的近似值．换句话说，测量值与真值之间总会有一定的偏差，这一偏差就称为绝对误差，简称为误差 ．用算术表示为　，其中“”表示测量值；“”表示真值；“”表示测量误差．

（2）相对误差的定义　绝对误差是以被测“量”的单位表示的误差，可能是正值，也可能是负值，在很多场合它不能用来比较不同测量之间的准确程度．如用色谱测量两个含量不同的样品，测量结果是：样品的含量为，样品的含量为．若样品的“真值”是，样品的“真值”是，则两个测量的绝对误差都是，是相等的．但是，实际上样品的测量比样品的测量显然要准确的多．为了弥补这一不足，引入了相对误差的概念，相对误差可用下式表示　，其中，表示相对误差；“”表示测量值；“”表示真值；“”表示测量误差．

2. 3　近似与误差的关系

误差与近似是相互联系相互确定的关系．在实际计算题中，如果确定了该题的近似值，那么误差根据上述公式得出；反之若给出问题的误差，也可以确定相应的近似值．一般地，问题中若限制误差的一定范围，则可去确定使之成立的条件及相应的近似值范围．如用色谱测量一种样品的含量，测量的结果为，若样品的“真值”是，那么测量的误差是．若已知一种样品的含量是，而测量误差是，那么样品的测量值就为或．

3　函数值的近似计算

3.1　微分法

(1)当函数在点处可导，且很小时，有近似公式

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