浅谈利用积分因子求解一阶微分方程

论文总字数：4763字

摘 要

关键词：积分因子,一阶微分方程,解法

Abstract:It is an effective way to use the integral factor to solve the first-order differential equation.It"s also been widely used. But the difficulties of learning ordinary differential equations are the hard-work on the integrating factor and the skill you need. This article will focus on the several ways to get integrating factor, then use some specific examples to prove the theory.

Key words:integral factor ,a first-order differential equation, solution

目 录

1引言……………………………………………………………………4

2准备工作………………………………………………………………4

3利用积分因子求解微分方程…………………………………………4

3.1直接观察法…………………………………………………………4

3.2分项组合法…………………………………………………………5

3.3公式法………………………………………………………………6

3.3.1积分因子为形式………………………………7

3.3.2积分因子为形式………………………………9

3.3.3积分因子为形式 …………………………………12

3.3.4 积分因子为形式…………………………………13

结论 ……………………………………………………………………16

参考文献 ………………………………………………………………17

致 谢……………………………………………………………………18

1 引言

一阶微分方程作为常微分方程的基础，在常微分方程中占有重要地位，我们学习的一阶常微分方程的初等解法主要有两种：一是利用变量代换法，将方程化为变量可分离方程求解；另一种是找出方程的积分因子法，将方程化为全微分方程求解。相对于“变量分离法”，这种利用积分因子将方程化为全微分方程求解的方法难度较大，且技巧性较高，而书本上所涉及的知识又相对较少，所以非常有必要对其加以系统的研究。

2 准备工作

利用积分因子求解一阶微分方程，所需要知道如下两个定义

定义1 如果微分形式的一阶方程

, (1)

的右端恰好是一个二元函数的全微分，即 , (2）

则称(1)为全微分方程或恰当微分方程，而函数称为的原函数.但是方程（1）未必都是全微分方程，对于这类情况我们引入积分因子来求解微分方程.

定义2 如果存在连续可微函数，使方程 , (3)

成为全微分方程，我们就把称为方程（1）的一个积分因子，那么方程（3）是全微分方程的充要条件是

.

3 利用积分因子求解微分方程

3.1 直接观察法

对于相对简单的方程，我们可以直接看出积分因子，再将积分因子带入原方程，使之变成方程(3)的形式就好.

例1 求解微分方程.

解 因为，所以此方程不是全微分方程.但是由于

,

因此观察出是其积分因子，故方程两边通乘以得，所以其通解为.

3.2 分项组合法

对于一些比较复杂的方程，很多时候不容易直接观察出积分因子，但是如果将他们适当分组，比如将方程(1)分成两组

, (4)

然后分别求两组的积分因子和，即存在和，使

;

.

再借助于和求得方程(4)的积分因子，但在这之前必须要知道如下定理

定理1 如果是微分方程（1）的积分因子，即

那么也是方程(1)的积分因子，这里是的任意连续函数.

证明 因为,这里是的一个原函数.所以,对于上述分成两组的情形，如果能选取适当的函数及。使得

那么既是第一组的积分因子，也是第二组的积分因子.

例2 求解方程.

解 分组.即

,

显然

,

选取适当，使得

,

则有

,

已知

,

则有

,

因此有

,.

求得 ，即

,,

所以

,

原方程两边同乘以,则得全微分方程

,

现取，则通积分为

,

所以原方程的通解为

,

即.

3.3 公式法

对于一些特殊的特殊的积分因子，我们可以很容易的求出积分因子所满足的公式.

3.3.1 积分因子为形式

定理2 方程（1）具有形为的积分因子的充要条件是

,

其中为不同时为0的常数，且此时有公式

.

证明 令，则，，那么（3）式为

,

有

,

,

若，即

,

那么有，即

,

所以

,

此时，积分因子.

例3 求方程.

解 因为

,

所以

,,

则有

,,

这里令，则

,

所以

,

因此，积分因子为，原方程两边同乘以得

,

即

,

得全微分方程

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