导数在不等式证明中的应用

论文总字数：6691字

摘 要

导数是研究函数性质的重要工具，用导数的知识来证明不等式，在高等数学的学习过程中有广泛的应用.掌握导数在不等式证明中的方法和技巧可以帮助我们更加简洁、有效的处理不等式，本文结合导数在微分中值定理、函数的单调性、函数的凹凸性、函数的最值、泰勒公式等方面的使用，给出了导数在证明不等式中的应用.

关键词：不等式，中值定理，单调性，凹凸性，泰勒公式

Abstract: Derivative is the important implement to study the nature of function. Proving inequality with derivative knowledge is widely applied to the course of higher mathematics learning. To master the skills and methods of the proof of inequality with derivative knowledge is of great importance， which can help us solve inequality concisely and effectively. The paper combined the use of derivative in areas such as differential mean-value theorem，monotonicity of a function and the concavity and convexity of functions，minimum of the function，the Taylor formula and so on，which introduces some applications of the proof of inequality with derivative knowledge.

Key words: inequality，mean-value theorem，monotonicity，concavity and con-vexity，Taylors formula

目 录

1 引言…………………………………………………………………4

2 应用微分中值定理证明不等式……………………………………4

2.1 应用拉格朗日中值定理证明不等式……………………………4

2.2 应用柯西中值定理证明不等式…………………………………6

3 应用函数的单调性证明不等式……………………………………7

3.1 应用函数的单调性证明在某区间上成立的不等式……………7

3.2 应用函数的单调性证明积分不等式……………………………8

4 应用函数的凹凸性证明不等式……………………………………9

5 应用函数的最值证明不等式 ……………………………………12

6 应用泰勒公式证明不等式 ………………………………………13

结束语…………………………………………………………………16参考文献………………………………………………………………17 致 谢……………………………………………………………………18

1 引言

解决数学问题的关键在于找到恰当的解题方法，如果在学习数学过程中，我们有意识地将数学问题系列化，解题方法系列化，那么就可以化难为易，大大简化解题过程，节约解题时间.不等式问题的解决可以归为一个系列，有些繁杂的不等式，利用初等数学知识难以甚至无法解决，但是使用微分学的知识——导数，很多初等数学知识无法解决的问题都会迎刃而解.

2 应用微分中值定理证明不等式

在高等数学的学习过程中，微分中值定理应用广泛，我们常常利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理来解决不等式问题.

2.1 应用拉格朗日中值定理证明不等式

应用该定理证明不等式需要用到的知识如下：

定理1 （拉格朗日中值定理） 若函数满足下列条件：

（ⅰ）函数在闭区间上连续；

（ⅱ）函数在开区间内可导，

则在开区间内至少存在一点，使得

.

例1 证明不等式

，

其中.

分析 根据不等式中间项可以想到

，，

所以

，

想要证明原不等式成立，只需证明

和.

后一个不等式可以变形为，这个不等式成立；但是前一个不等式为，这个不等式显然不成立，所以原不等式右端不等式的证明不能用上述方法，于是将变为，化成函数不等式来证明.

证明 由拉格朗日中值定理至少存在一点，使得

，

由知

，

所以有

.

下面证明原不等式左端的不等式.

设函数，因为

，

则在定义域内为单调递减.然而，则当时，，因而，所以

，

即

.

从而证得

.

注1 辅助函数构造方法：将题目中需要证明的结论中的换成；将题目变成易积分形式；求出原函数，计算过程中可以令常数为零；④将不等号化为等号后将等号两端移到同一端，则非零端为所求辅助函数.

2.2 应用柯西中值定理证明不等式

应用该定理证明不等式需要用到的知识有：

定理2（柯西中值定理） 设函数和满足

（ⅰ）在上都连续；

（ⅱ）在内都可导；

（ⅲ）和不同时为零；

（ⅳ），

则存在，使得

此类证明步骤如下：构造辅助函数、和所需要的区间；取，，根据上述定理有

，，

由、在上的单调性，把、作恰当变化来证明不等式.

例2 当时，证明不等式

.

分析 令，，和在定义域上满足柯西中值定理的条件，故可以运用该定理证明.

证明 令，，从而原题可以转换为 .

应用柯西中值定理应存在，使

，

于是可以转化为.

又因为

，

所以时，

，

有 ，即，亦即，综述

.

3 应用函数的单调性证明不等式

用函数单调性来证明不等式在解题中很容易被大家接受，并且难度稍小，但是要根据具体题目来确定方法.

3.1 应用函数的单调性证明在某区间上成立的不等式

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