论文总字数：5714字

摘 要

关键词：分类讨论思想，数学思想，正确分类

Abstract: In this paper, we discuss the application of classification thought in the middle school from the following aspects: what is the idea of classified discussion; the principle of the idea of classified discussion; the general steps to solve classification problems; the application of the idea of classified discussion in mathematics, and the application of the idea of classified discussion in practical problems.

Keywords: idea of classified discussion, mathematical thinking, correct classification

目录

1 引言 4

2 什么是分类讨论思想 4

3 分类讨论思想的原则,解答分类问题的一般的步骤 4

3.1 分类的基本原则 4

3.2 分类的一般步骤 4

4 分类讨论思想在数学中的应用 5

4.1 涉及到分类定义的概念 5

4.2 直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则 6

4.3 结论有多种情况 7

4.4 参变量的取值导致不同的分类 9

5分类讨论思想在实际问题中的应用 11

结论 15

参考文献 16

致谢 17

1 引言

“数学思想方法”在数学教育领域中被广泛使用,它贯穿整个数学教育,是数学教育的核心思想.数学思想方法分为几大类:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归思想、数形结合思想、极限思想、整体思想、抽样统计思想等等.本篇论文研究的就是分类讨论思想.分类讨论思想拥有鲜明的逻辑性、综合性、探索性,能锻炼人的思维的条理性、严密性和概括性,在数学解题中占据重要的地位.学好分类讨论思想,不仅有利于我们更好的解决数学问题,而且为我们日常生活中解决实际问题提供了一定的帮助.

2 什么是分类讨论思想

针对考虑题目过程当中呈现的不同情况展开分类研究的思想,称之为分类讨论思想.分类以比较为基础,比较是分类的前提,分类是比较的结果.

分类讨论思想,是一种重要的数学思想,亦是一种逻辑方法,同时又是一种重要的解题策略.这类思想拥有鲜明的逻辑性、综合性、探索性,能锻炼人的思维的条理性、严密性和概括性,所以在数学解题中占据重要的地位.

3 分类讨论思想的原则，解答分类问题的一般的步骤

3.1 分类的基本原则

（1）同一性原则.按同一标准分类,每个分类不能同时使用几种不同的分类依据.

（2）相称性原则.分类要相称,即分类后子项外延的总和（并集）,要与母项的外延相等.

（3）互斥性原则.分类后的每一个子项都要互不相容,相互排斥,即分类后如果属于这个子项,就不能再属于另一个子项.

（4）层次性原则.分类又分为一次分类和多次分类,一次分类就是只分类一次,而多次分类是把分类后所得的子项作为母项,再进行分类,直至满足需要为止.

3.2 分类的一般步骤

（1）首先要确定所需讨论的对象和讨论对象的取值范围.

（2）其次要正确的选取分类的标准,进行合理分类.

（3）然后再逐类讨论并解决问题.

（4）最后进行归纳并作出结论.

4 分类讨论思想在数学中的应用

需要运用分类的思想解决的数学问题就其引起分类的原因可归结为:①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的.

针对以上四种情况举例说明分类讨论思想在数学中的应用.

4.1 涉及到分类定义的概念

有些概念是分类定义的,如有理数、实数、绝对值、平方根的概念等,当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法.

例1 已知,且,求的值.

分析 首先,这是一道与绝对值相关的题目,一般要去掉绝对值，这就要根据绝对值的概念进行分类.其次,由，知,同号,又可分为与同大于,与同小于.此题虽然简单,但却运用了两次分类讨论思想.

解 由题意可知

,,

因为与同号,所以的值有以下两种结果:

,,

故的值为或.

例2 求解形如的方程.

分析 遇到平方就要想到开平方,而要用两边开平方的方法求解,需要分类讨论、和这三种情况,此题 的符号决定能否开平方,是分类的依据.

解 当时,.

当时,.

当时,无解.

综上可得,当时,；当时,无解.

4.2 直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则

有理数的加法、乘法、除法、乘方法则；一元二次方程的求根公式及根的判别式；方程两边同时乘以（或除以）一个不为零的数,方程的解不变；不等式的两边同时乘以（或除以）一个正（负）数,不等号的方向不（改）变；直线与圆的位置关系；两圆的位置关系；一次函数的性质；二次函数的性质；反比例函数的性质等.

当我们应用这些受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题时,如果在解决问题中需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制可以考虑使用分类讨论的方法.

例3^[2] 在等比数列中,，求.

分析 直接根据等比数列求和公式分类求解,等比数列求和公式为

解 当时,有

则此时无解.

当时,有

将上面两个等式的两边分别相除，得

,

则有,即

,

所以.

把带入,解得

,

所以.

综上可得,.

例4 解关于的不等式：.

分析 首先通过移项将原不等式化为的形式,然后根据不等式的性质可分为、和三种情况分别求解不等式.

解 当即时,不等式的解为

.

当即时,不等式的左边等于,右边等于,因为恒成立,所以不等式的解是一切实数.

当即时,不等式的解是

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