论文总字数：5777字

摘 要

关键词：矩阵的秩，向量，线性方程组，二次型

Abstract：The rank of matrix plays an important role in the matrix, throughout the matrix.In this paper,we mainly discuss the main properties and conclusions, so as to explore the application of the rank of matrix.

Keywords：the rank of matrix,vector,linear equation,quadratic form

目 录

1 前言 5

2 矩阵的秩与向量间的线性相关 5

2.1向量组的秩的定义 5

2.2矩阵的秩的定义 5

2.3矩阵的秩的基本性质 6

3 矩阵的秩与向量间的线性关系 6

3.1线性相关及其判断 6

3.2极大无关组 7

4 矩阵的秩与线性方程组的解 8

4.1非齐次线性方程组的解 8

4.2齐次线性方程组解 9

5 矩阵的秩与二次型 10

5.1二次型及其标准型 10

5.2矩阵的秩与二次型的正定 10

6 矩阵的秩与线性变换 12

7矩阵的秩与解析几何的关系 13

7.1矩阵的秩在判断平面与平面的位置关系的应用 13

7.2矩阵的秩在判断直线与直线位置关系的应用. 14

7.3矩阵的秩在判断平面与直线的位置关系的应用. 14

结论 15

参考文献 16

致谢 17

1 前言

在高等代数中,矩阵的秩有着非常广泛的应用,是高等代数中的重要角色之一.矩阵的秩作为矩阵的一个重要的本质属性贯穿矩阵整个学习过程.所以对于矩阵秩的讨论可以让我们更好的学习矩阵,矩阵的秩为我们学习高等代数各个章节提供了有力的学习保障.在矩阵中,矩阵中的最大阶不为零的子式的阶数就称为矩阵的矩阵的秩,记为或矩阵的秩.从定义上看,一个矩阵的秩,就是一个数.其实,如果将矩阵的每一行看成一个向量,每一列看成一个向量,则行向量组和列向量组中极大无关组中向量的个数是相等的,数量上等于矩阵的秩.若,则称为行满秩的矩阵;若,则称为列满秩矩阵.阶方阵等于时称为满秩矩阵或可逆矩阵.

2 矩阵的秩与向量间的线性相关

向量组的秩决定了矩阵秩的定义,从向量组的秩去理解矩阵的秩是非常容易理解的,为此我们先引入向量组的秩的定义.

2.1向量组的秩的定义

定义1向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.

例如，向量组 =（2，-1，3，1）， =（4，-2，5，4）， =（2，-1，4，-1）的秩就是2.

因为线性无关的向量组就是它自身的极大无关组,所以一组向量组线性无关的充分必要的条件为它的秩与它所含向量的个数相同.

2.2矩阵的秩的定义

由2.1我们定义了向量组的秩,如果我们把矩阵的每一行看成一个向量,那么矩阵就可以认为是由这些行向量组成的.同样,如果把每一列看成一个向量,那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.

定义2矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.

关于求解矩阵的秩,也有以下几种方法:

(1)找到矩阵当中非零子式子的最高阶数即为矩阵的秩;

(2)求矩阵的标准形,主对角线上1的个数即为矩阵的秩;

(3)在初等变换的情况下,把矩阵变成行阶梯形矩阵，其中非零行的行数就是矩阵的秩(较上两种方法简单).

2.3矩阵的秩的基本性质

(1)

(2)

(3)若则

(4)若则

(5)

3 矩阵的秩与向量间的线性关系

判断向量组线性相关时,我们经常用

表示两个向量线性相关.本节我们介绍一些复杂问题的解法,也就是用矩阵的秩的有关知识解决这类问题.

3.1线性相关及其判断

定义3如果向量组 , , （s 2）中有一个向量可以有其余的向量组线性表示,那么向量组 , , 称为线性相关.

定理1一向量组,,,.其中是矩阵.为维列向量.且则

,,,线性相关 有非零解.

,,,线性无关 只有零解

定理2 设,,,与,, ,是两个向量组.如果

1)向量组,,,可以经,,,线性表出,

2),

那么向量组,,,必线性相关.

例1 判断能否由,,,线性表出,若可以,给出线性表示式.其中

=（1,2,1,1）,=（1,1,1,1）,=（1,1,-1,-1）,

=（1,-1,1,-1）,=（1,-1,-1,1）.

解 考虑以为系数列向量,为常数列向量的非齐次线性方程组

易求得,,.由克拉默法则,得到上述方程组的唯一解为

.

故

例2 已知可用线性表示,但不能用线性表出,试判断：(1)能否可以用线性表示;

1. 能否可以用线性表示,并说明理由.

解 不能用线性表示,但能用线性表示.因为可用线性表示.可设

则必有,否则可用线性表示,与已知矛盾.所以

即可由线性表出.

如,代入知与已知矛盾.即不能用线性表出.

例3 若向量组线性相关,向量组线性无关,试问能否由线性表出?并说明理由.

解 不能,因为已知线性无关,则线性无关,又因为线性相关,所以可由线性表示.设,如能由线性表示,那么

,

即可由线性表示,则线性相关,与已知矛盾.因此,不能用线性表出.

3.2极大无关组

定义4 一向量组,,,不线性相关,即没有不全为0的数使就称线性无关.

例4 求向量组的极大线性无关组

解 1）考虑，假设存在使得满足得则是线性无关的.

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