浅谈矩阵与行列式的联系

论文总字数：5434字

摘 要

本文主要从矩阵与行列式的定义、性质、二次型以及特征值方面讨论了矩阵和行列式的区别与联系.第一章引言交代研究背景；第二章简单交代了矩阵与行列式的基本知识；第三章从方阵的行列式与矩阵的子式两方面介绍了矩阵与行列式之间的联系；第四章介绍了矩阵与行列式的应用.

关键词：矩阵，行列式，二次型，特征值，正交矩阵

Abstract: In this article，we discussed matrix and determinant in different contact ,which includes definition , nature , quadric form and eigenvalues of matrix. In section I，we explained research background; Briefly in section II，it is a basic knowledge of matrices and determinants. In section III，we highlighted the link of matrices and determinants from the determinant of square matrix and minor of matrix ; Some applications is discussed in section IV.

Key words: Matrix，Determinant，Quadric form，Eigenvalues，Orthogonal matrices

目 录

1 引言……………………………………………………………………………4

2 基本知识………………………………………………………………………4

2.1 概念…………………………………………………………………………4

2.2 性质…………………………………………………………………………5

3 矩阵与行列式的联系…………………………………………………………6

3.1 方阵的行列式………………………………………………………………6

3.2 矩阵的子式…………………………………………………………………8

4 矩阵与行列式联系的应用……………………………………………………11

结束语……………………………………………………………………………13

参考文献…………………………………………………………………………14

致谢………………………………………………………………………………15

1 引言

从矩阵与行列式的发展史来看，二者具有相对独立性，但是在完善过程中二者建立起密切关系.矩阵理论发展史告诉我们，行列式理论对其产生和发展起促进作用.凯雷是公认的矩阵论创始人，他在1855年一篇文章中谈到矩阵概念的起源，说“我绝不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是从行列式的概念而来，或者是作为方程组的方便表达式而来的.”可见，矩阵概念产生的一种观点就是来源于行列式.

行列式与矩阵既有相对独立性又有绝对联系性，相对独立性蕴含于绝对联系性之中，二者有机统一共同推动了理论发展.矩阵概念比行列式概念提出要晚一个世纪，但发展很快，原因就在于矩阵与行列式密切相关，矩阵的许多性质在矩阵概念引进之前就搞清楚了.不过由于矩阵本身具有许多独特性质，它作为一些抽象数学结构的具体发现，在数学中获得了新的应用.

2基本知识

2.1概念

本文主要从正交矩阵与二次型两方面来论述矩阵与行列式的联系.

定义1^[1] 由个数排成的行(横的)列(纵的)的表

称为一个矩阵.

定义2^[1] 级行列式

等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和，这里是1,2，的一个排列.即

.

通过对两者概念的比较，我们可以发现，矩阵是一个表格，而行列式却是一个确定的唯一的数.一个矩阵可以定义一个相应的行列式，而一个行列式也可以通过相应的矩阵来帮助解决问题.

定义3^[7] 如果阶矩阵满足则称为正交矩阵.

定义4^[1] 子式

,

称为矩阵的顺序主子式.

定义5^[1] 设，为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得，就说相似于，记作.

2.2性质

由文献[1]知行列式的性质如下：

1 行列互换，行列式不变.

2 以一数乘行列式的一行等于该数乘该行列式.

3 行列式某一行是两组数的和，那么这个行列式等于两个行列式的和.

4 若行列式中有两行相同，那么行列式为零.

5 若行列式中两行成比例，那么行列式为零.

6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变.

7 对换行列式中两行的位置，行列式反号.

由文献[1]知矩阵的初等行变换如下：

在数域上，矩阵的初等行变换：

1)以中一个非零的数乘矩阵的某一行；

2)把矩阵的某一行的倍加到另一行；

3)互换矩阵中两行的位置.

以上行列式与矩阵中对行的性质，对于列依然成立，即行列式与矩阵的行与列的性质具有对称性.

经过初等行（列）变换的方阵与其所定义的行列式或者不变，或者仅相差一非零的倍数，即(，为方阵).由此可见，矩阵与行列式之间的紧密联系.

本文中涉及到的符号如下：表示一个排列的逆序数；是连加号；表示元素在集合中；矩阵表示矩阵相似于矩阵.

3矩阵与行列式的联系

3.1方阵的行列式

在这一小节中，我们主要从正交矩阵的特征值一方面讨论矩阵与行列式的联系.

引理1^[7] 若为正交矩阵，为的特征值，则为的特征值.

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