三角函数不等式的几种证明方法

论文总字数：6031字

摘 要

关键词：三角函数， 不等式， 高等数学

Abstract: In this paper, we mainly used the four methods of the unit cirle,the monotony of function,adjustment principle ,rational inequality in higher mathematics to prove trigonometric inequality,and discuss the application of inequality.

Key words: trigonometric function,inequality,higher mathematics

目 录

1引言…………………………………………………………………… 4

2借助单位圆证明三角函数不等式…………………………………… 4

3借助函数单调性证明三角函数不等式……………………………… 7

4三角函数不等式的调整证法………………………………………… 9

5 三角形中的正切代换方法及其代换公式 …………………………11

结束语…………………………………………………………………14参考文献………………………………………………………………15致 谢……………………………………………………………………16

1. 引言

三角函数不等式出现在中学数学的各个分支中，对数学各部分知识融会贯通，起到了良好的促进作用.所以在中学阶段，学生掌握三角函数不等式是十分必要的.而三角函数不等式的证明方法多样，内容相互联系.它既是中学数学教学中的重点，又是数学竞赛中的难点.所以有时数学中的知识可能证明起来比较困难且复杂，难度较大.

解决数学问题的关键在于找到恰当的解题方法，如果在学习数学过程中，我们有意识地将数学问题系列化，解题方法系列化，那么就可以化难为易，大大简化解题过程，节约解题时间.而在高等数学的学习过程中，不等式问题就可以看作一个系列来对待，有些复杂的不等式用初等数学的方法证明会比较困难甚至无法解决.但是利用高等数学的知识，很多初等数学知识无法解决的问题都会迎刃而解.以下本人通过单位圆、函数单调性、调成原理、不等式的有理化对三角函数不等式进行证明，具体内容如下：

1. 借助单位圆证明三角函数不等式

引理

在大学的数学分析教材中，引理1的证明，就是通过构造单位圆，利用数形结合的方法实现的.

中国传统数学讲究“析理以辞，解体用图”.利用几何图形论证，直观、简洁，有着不同于西方数学逻辑的特质，现代的中国数学家延续着这条路，做出了很多杰出的成果.

下面我们来引进一个例子来展示一下利用初等方法证明三角函数不等式时，几何图形所带来的独特简明的证明特点.

如图1，在单位圆中，设,切圆于，于，由于是单位圆，利用三角函数的定义和弧长公式可得

（1）

相应的，几个图形面积表示为

(2)

又由于

因此有

， (3)

再观察图1易得不等式

. (4)

利用上述不等式关系，可以证明一系列例题.

图1

例 1 证明 .

证明 如图2，过作切线交于（与垂直），连结交于，由式（2）得

,

由相似性质得

,

于是有

. (5)

同理知

(6)

综合式（5）（6）即可知例题成立.

图2

例 2 证明 . （7）

证明 如图2，先证 ，显然由(1)

，.

要证

，

由(2)只要证

,

或

,

因为与相似，所以

,

于是

，

从而

,

且

, ,

所以

.

且

，

从而

.

1. 借助函数单调性证明三角函数不等式

函数的单调性是函数的重要性质之一，在不等式证明中扮演着重要角色，运用函数单调性证明不等式，关键在于合理利用题设条件，构造出相应的函数.通过联想构造函数，将常量作为变量的瞬时状态置于构造函数的单调区间内，利用其单调性证明一些不等式十分便捷.

引理 设，则有

. (8)

证明 当时，因有

，，

所以

.

引理 设,则有

， （9）

例 3 设,则证明

. (10)

证明 先证明式（7）的左端，不妨设

=，

那么

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