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摘 要
本文总结了类比法在高等数学中的应用.给出了数学分析中数列极限和函数极限的类比，数列级数、无穷积分和瑕积分的类比，定积分和重积分的类比，高等代数中同构映射和线性变换的类比，整数整除和多项式整除的类比，以及概率论与数理统计中事件和集合的类比，概率论和数理统计的一些概念的类比.说明了运用类比法在高等数学学习中的作用.关键词：类比法，数学分析，高等代数，概率论与数理统计
Abstract: This paper summarized the application of analogy in higher mathematics. It gave mathematical analysis of series limit and function limit of analogy, series, infinite integrals and integrals of analogy, definite integral and double integral analog, higher algebra isomorphic mapping and linear transformation of analogy, integers and polynomials divisible by analogy the event, and the probability and mathematical statistics and collection of analogy, some of the concepts of probability theory and mathematical statistics. It illustrated the use of analogy in learning in higher mathematics.
Keywords: analogy method, mathematical analysis, higher algebra, probability theory and mathematical statistics
目 录
1 类比法在数学分析中的应用……………………………………………… 4
1.1 数列极限和函数极限类比……………………………………………… 4
1.1.1 概念…………………………………………………………………… 4
1.1.2 性质…………………………………………………………………… 4
1.1.3 运算法则……………………………………………………………… 5
1.2 数列级数、无穷积分和瑕积分类比…………………………………… 5
1.2.1 概念…………………………………………………………………… 5
1.2.2 性质…………………………………………………………………… 5
1.2.3 敛散性判别…………………………………………………………… 6
1.3 定积分和重积分类比…………………………………………………… 6
1.4 典型例题………………………………………………………………… 7
2 类比法在高等代数中的应用……………………………………………… 8
2.1 同构映射和线性变化类比……………………………………………… 8
2.1.1 定义…………………………………………………………………… 8
2.1.2 性质…………………………………………………………………… 8
2.2 整数整除和多项式整除类比…………………………………………… 9
2.2.1 定义…………………………………………………………………… 9
2.2.2 性质…………………………………………………………………… 10
3 类比法在概率论和数理统计中的应用…………………………………… 10
3.1 事件和集合类比………………………………………………………… 10
3.1.1 关系…………………………………………………………………… 10
3.1.2 运算…………………………………………………………………… 11
3.2 概率论和数理统计一些概念的类比…………………………………… 11
结论…………………………………………………………………………… 13
参考文献……………………………………………………………………… 14
致谢…………………………………………………………………………… 15
类比是一种从个别到个别，或从一般到一般的推理过程，运用类比法的关键是找合适的类比对象，并确定它们之间的相似属性.因此，类比就是在两个或多个事物间“求同存异”的过程.故从某种意义上讲，类比是一种相似或者相同，相似或者相同的属性越多，类比法的运用就越可靠.在我们高等数学学习过程中，经常在数与式之间，平面与立体之间，低次与高次之间，相等与不相等之间进行种种类比，把复杂问题简单化，并从简单问题的解决方法中得到解决复杂问题的解决方法.
1 类比法在数学分析中的应用
1.1 数列极限和函数极限类比
1.1.1 概念
数列极限的概念是指：设为数列， 为定数.若对任给的正数，总存在正数，使得当时有
，
则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作.
由此类比到函数极限：设为定义在上的函数，为定数.若对任给的，存在正数，使得当时有
，
则称函数当趋于时以为极限，记作.
该类比是从数列极限、函数极限并列的结构点进行类比的.
1.1.2 性质
我们知道数列极限是唯一的，即若数列收敛，则它只有一个极限；可以类比得到函数极限的唯一性：若极限存在，则此极限是唯一的.
另外，数列极限的有界性是指：若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数有
.
同样可以类比出函数极限的局部有界性定理：若存在，则在的某空心领域内有界.
此外，通过数列极限的保号性、保不等式性、迫敛性的类比，也可以得出函数极限的局部保号性、保不等式性、迫敛性，并且它们的证明方法也是类似的.
1.1.3 运算法则
我们可以从下面一张表看出数列极限和函数极限运算法则的类比：
表1 数列极限、函数极限运算法则
运算法则 数列极限 函数极限 |
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