λ矩阵的两点应用

论文总字数：5000字

摘 要

关键词：－矩阵, 行初等变换, 逆矩阵, 多项式, 最大公因式

Abstract: This paper proved the feasibility of inverse matrix - matrix using the elementary row transformation method, and calculate the matrix equation solution to matrix elements. Also give the elementary transformation of matrix in a standard form, and the greatest common divisor of this theory applied to the solution of a polynomial.

Key Words: A matrix, elementary transformation, inverse matrix, polynomial, the greatest common divisor

目 录

1. 引言 2

2. 基本概念与引理 2

3. 求含—矩阵的矩阵方程的解 3

3. 1. 用行初等变换法来求－矩阵的逆矩阵……… 3

3. 2. 求矩阵的矩阵方程的解……… 5

4. 应用—矩阵求多个一元多项式的最大公因式 7

结束语……………………………………………………………………11

参考文献 12

1 引言

－矩阵是数字矩阵的推广，普通的数字矩阵的一些概念和性质可以直接推广应用到－矩阵中去，但也有些不同，比如：矩阵的秩与矩阵可逆的关系. －矩阵的逆矩阵在求解矩阵方程、含参线性方程组以及工程计算方面都有着广泛的应用. 在这些应用中都涉及求－矩阵的逆矩阵，但用传统方法求解－矩阵的逆矩阵并不容易. 在求数字矩阵的方法中有一种行（列）初等变换法是较简单的方法. 能否用求数字矩阵的逆矩阵的方法求－矩阵的逆矩阵并判断－矩阵是否可逆就显得较为重要，本文给出了类似于数字矩阵求逆矩阵的方法来求－矩阵的逆矩阵，并给出具体例子加以理解. 除此之外，－矩阵在求多个一元多项式的最大公因式中也有应用，基本的辗转相除法繁琐且易错，本文给出了利用－矩阵求解多个一元多项式的最大公因式的方法并给出具体例子.

2 基本概念与引理

定义2. 1 设是一个数域, 是一个文字, 作多项式环. 一个矩阵, 如果它的元素是的多项式, 即的元素, 就称为-矩阵.

定义2. 2 下面三种初等变换称为-矩阵的初等变换:

(1)-矩阵的两行(列)互换位置;

(2)-矩阵的某一行(列)乘以非零的常数;

(3)-矩阵的某一行(列)加另一行(列)的倍, .

定义2. 3 将单位矩阵作相应的-矩阵的初等变换后, 所得到的-矩阵称为初等-矩阵. 分别记为, , .

定义2. 4 对角形-矩阵

称为-矩阵的标准型. 其中≥, 是首项系数为的多项式, 且,.

定义2. 5 一个的－矩阵称为可逆的, 如果有一个 的－矩阵使, 矩阵 称为的逆矩阵, 记为 .

定义2. 6 上述标准形中主对角线上非零元素 , …, 称为－矩阵 的不变因子.

定义2. 7 如果－矩阵中有一个 r( r≥1) 级子式不为零, 而所有级子式( 如果有的话) 全为零, 则称 的秩为.零矩阵的秩规定为零.

引理2. 1 一个的-矩阵可逆的充分必要条件是为一个非零常数.

引理2. 2 任意一个非零的的－矩阵都等价于下列形式的矩阵

其中 r≥1,是首项系数为的多项式,. 这个矩阵称为的标准形. 正如数字矩阵的标准形是唯一的, －矩阵的标准形也是唯一的.

引理2. 3 一个的－矩阵是可逆的充分必要条件为行列式是一个非零的数.

有了以上必要的定义和定理后，我们来看看矩阵在以它为元素的矩阵方程中有何应用.

3.求含—矩阵的矩阵方程的解.

鉴于—矩阵的此应用中经常用到—矩阵的逆矩阵, 故先介绍一种求—逆矩阵的方法.

3.1用行初等变换法来求－矩阵的逆矩阵

定理3. 1 任何－矩阵都可以经过一系列的行初等变换化成行阶梯形－矩阵．

证明 设

.

设0(若为零则可以通过对换两行使0, 若仍然不能则第一列全为零), 如果第一列有元素不能被整除, 由文献[1]知经过一列的行初等变换化为且左上角的元素次数比a的次数低. 若第一列还有元素不能被整除, 再用同样方法得到且左上角元素的次数比b次数低. 如此下去得到一系列的相互间等价的λ—矩阵A,,,, 它在左上角的元素都不为零且次数越来越低, 但次数不可能无限次降低, 所以必将终止于一个矩阵, 它的左上角元素能够整除第一列每个元素. 对作初等变换

.

再对重复以上过程, 从而可以把矩阵化成

.

假设是阶方阵, 下面将考虑的逆矩阵.

定理3. 2　假设是上三角矩阵（下三角矩阵）, 则为可逆矩阵的充分必要条件是的主对角线上元素全都是非零的数．

证明 先证必要性．若是可逆矩阵, 则是非零的数, 则主对角线上元素的乘积是非零的数, 则主对角线上元素都是非零的数．

充分性显然．

定理3. 3　假设可逆, 则能够用行初等变换法求矩阵的逆．

证明 假设经过一系列行初等变换化成上三角矩阵, 由前面叙述, 只要证明可逆即可. 对作一次行初等变换, 等价于左乘一个初等矩阵, 则＝, 其中都是初等矩阵, 而初等矩阵都是可逆矩阵, 故初等矩阵的行列式都是非零的数, 则可逆．

由此, 我们证明了可以应用行初等变换法求－矩阵的逆矩阵. 应用该方法求高阶－矩阵的逆矩阵比较简单. 同时, 在进行行初等变换的过程中, 如果得到的上三角矩阵主对角线上不是非零的数那么不可逆, 所以该法还可以判断矩阵是否可逆.

3.2求矩阵的矩阵方程的解.

对于一类简单的矩阵方程, 可以通过求出的逆矩阵, 再用左乘得到, 也可用行初等变换求得:设都是行初等变换, 可设,

则

.

即对作这些初等变换即可求得. 以下举了一个较简单的情况（为数字矩阵）作为验证.

（本文初等变换中行均用表示）

例1 设, Y, 判断Y是否有解, 并求出解.

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