正交矩阵及广义正交矩阵的性质

论文总字数：4699字

摘 要

关 键 词：正交矩阵，特征值，广义正交矩阵

Abstract: In this paper，based on the definition of orthogonal matrix，some properties of orthogonal matrix were summarized. The eigenvalues of orthogonal matrix were discussed.The definition of generalized orthogonal matrix was given. Some properties of generalized orthogonal matrix were summarized.

Key words: orthogonal matrix, eigenvalue, the generalized orthogonal matrix

目 录

1 引言 4

2 正交矩阵的性质 4

3 矩阵行列转置的定义和引理 10

4 广义正交矩阵的定义和主要性质 11

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1 引言

矩阵是线性代数中的核心内容，而正交矩阵是一类特殊的矩阵.所谓正交矩阵，是指实数域上阶矩阵满足(表示阶单位矩阵).由正交矩阵的定义可知，正交矩阵是可逆的，且.由矩阵的逆的性质得.

为了方便起见，文中规定、、、分别为数域上阶实矩阵的逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵和行列式，表示实数域上阶全体矩阵.

2 正交矩阵的性质

性质1 若阶实矩阵为正交矩阵，则的个列（行)向量是两两正交的单位向量.

证明 设

，

由为正交矩阵知，从而有

即矩阵的每一列都是单位向量，且任意两列正交.证毕.

性质2 设阶实矩阵为正交矩阵，则:

1)对的任意一列（行)乘以或任意两列（行)互换，所得矩阵仍然是正交矩阵;

2)，且可逆，其逆也是正交矩阵;

3)，也是正交矩阵.

证明 1)设，其中是的列向量组.由性质1知，是的单位正交向量组.因此以及也都是的单位正交向量组.从而对的任意一列（行)乘以或任意两列（行)互换，所得矩阵仍然是正交矩阵，结论成立.

2)由

,

知.又由,知

.

故也是正交矩阵.

3)由,知是正交矩阵.因为，所以

所以是正交矩阵.

性质3 设阶实矩阵为正交矩阵，则

1)若是的特征值，则也是的特征值;

2)的特征值的模等于1，且属于的不同特征值的特征向量互相正交.

证明 1)设是的特征值，则存在不为零的维向量，使，在两端左乘，得.又因为是可逆的，所以由得 ，从而得，所以是的特征值.又因为，且与有相同的特征值，故是的特征值.

1. 设为矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量，从而有 ，

而，故，即的模等于.另设是矩阵的另一个特征值，且，是的属于特征值的特征向量，由

，，，

可得

，

所以，而，从而，故，即与互相正交.证毕.

性质4 设阶实矩阵为对称正交矩阵，则的特征值只能为1或-1.

证明 因为阶实矩阵为对称正交矩阵，所以，.设是矩阵的特征值，是的属于特征值的特征向量.则有

，，

又由，知，则有.因为，所以，.故的特征值只能为1或-1.证毕.

性质5 设阶实矩阵为上（下)三角的正交矩阵，则必为对角矩阵，且主对角线上的元素为1或-1.

证明 不妨设为下三角的正交矩阵，则其逆（下三角)等于其转置（上三角)，所以只能是对角矩阵，又，故可得的主对角线上的元素只能为1或-1.证毕.

性质6 设阶实矩阵，都是正交矩阵，

1)若，则;

2)当为奇数时，则.特别地，若，则;

证明 1)由

得.

2)由

当为奇数时，.

特别地，当时，有

当为奇数时，，即.证毕.

若阶实矩阵是正交矩阵，则由知，即.行列式等于的正交矩阵通常称为第一类正交矩阵;行列式等于的正交矩阵称为第二类正交矩阵.

推论1 设阶实矩阵是第二类正交矩阵，则，且为的特征值.

证明 因为阶实矩阵是第二类正交矩阵，.由性质6知，故，即为的特征值.

推论2 设实矩阵是奇数阶第一类正交矩阵，则，且为的特征值.

证明 因为实矩阵是奇数阶第一类正交矩阵，所以.由性质6知，故.即1为的特征值.

性质7 设阶实矩阵，都是正交矩阵，则:

1. ，(为自然数)，，，，，，，

都是正交矩阵;

1. 若是反对称矩阵，则也是正交矩阵，且此时.

注1 反对称矩阵是指阶实矩阵满足.

证明 1)因为阶实矩阵，都是正交矩阵,所以，，从而有

，

所以为正交矩阵.由性质1可知:(为自然数)，，，

，，均为正交矩阵.

又因为

，

故，都是正交矩阵.

2)由于

因此，当为反对称矩阵时，，即是正交矩阵，从而

.

证毕.

性质8 设阶实矩阵为对称矩阵，为反对称矩阵，，可交换，可逆，则及均为正交矩阵.

注2 对称矩阵是指阶实矩阵满足.

证明 由阶实矩阵为对称矩阵,为反对称矩阵可知:，，又由，可交换知.故，

因为，可逆，所以也可逆.因为

所以为正交矩阵.

又因为

所以为正交矩阵.证毕.

推论3 设阶实矩阵为反对称矩阵，则及都是正交矩阵，且不以为其特征值.

证明 因为实反对称矩阵的特征值只能为零或纯虚数，所以不是的特征值，故，，故和可逆.

由性质8知，及都是正交矩阵，记 ，则由

知可逆，而，即不是的特征值，同理可证，不是的特征值.证毕.

3 矩阵行列转置的定义和引理

定义1 设，则称

，，

分别为矩阵的行转置矩阵与列转置矩阵，并记为与.

若，则称为行列对称矩阵.

为方便讨论，引入阶方阵:

.

由此易得:，.

引理1 设矩阵，则

1)，;

2)，;

3)，，;

4)，;

5)，;

6)设，则，.

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