论文总字数：4755字
摘 要
本文介绍了行列式计算的若干方法，并针对不同题型选择恰当方法，以简化解题步骤.关键词：行列式，范德蒙行列式，泰勒公式，特征值
Abstract: In this paper, we introduce some methods for calculations of determinants, and according to different problems, we choose appropriate methods to simplify the solving steps of problems.
Key words: determinant，Vandermonde determinant，Taylor formula, characteristic value
目 录
1 引言 3
2 定义及相关性质 4
2.1 定义 4
2.2行列式的性质 4
3 行列式计算的若干方法 5
3.1 化三角形法 5
3.2 降阶法 （按行（列）展开法） 6
3.3 升阶法（加边法） 7
3.4 利用范德蒙行列式 8
3.5 递推法 8
3.6 数学归纳法 9
3.7 拆分法 10
3.8 析因法 12
3.9 行列式乘积法 14
3.10 导数法 14
3.11 利用矩阵行列式公式 15
3.12 利用方阵特征值与行列式的关系 17
结 论 21
参 考 文 献 22
致 谢 23
1 引言
行列式是高等代数中的重要概念，运用十分广泛，通常用在克莱姆法则求解线性方程组.三点共线和三向量工面也是运用行列式来证明的，在线性代数中二次型和矩阵也会用到行列式，故能够准确的求得行列式的值十分重要.因此归纳和总结计算行列式的方法与技巧是十分重要的，再根据题目特点选择恰当的计算方法.
2 定义及相关性质
2.1 定义
定义1 级行列式
等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积
的代数和，这里是1,2…的一个排列，若是偶排列 ，则式带有正号，若是奇排列，则式带有负号.这一定义可写成
，
这里表示对所有级排列求和.
定义2 行列式
称为级的范德蒙德(Vandermonde)行列式．
2.2行列式的性质
性质1
.
性质 2 行列互换，行列式不变.
性质 3 如果行列式中有两行（列）相同或成比例，那么行列式为零.
3 行列式计算的若干方法
3.1 化三角形法
化三角形法是指利用行列式性质将其化成上（下）三角形，它是由定义法引申出的求解行列式的常用方法.
其中有行（列）和相等型，“爪”型，“滑梯”型等可以化为三角型.
例1 计算级行列式
.
分析 这个行列式的特点是行和为.
解 将的后列加到第一列，再把第二行到第行都分别加上第一行的-1倍.
.
3.2 降阶法 （按行（列）展开法）
将行列式按某一行展开或将按某行展开，将较高阶的行列式化成较低阶的行列式.
设为阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有或
其中为中的元素的代数余子式.
例2 计算行列式
.
解 设原行列式为，按第五行展开得
.
3.3 升阶法（加边法）
升阶法是指将n阶行列式增加一行一列变成n 1阶行列式，使它变成更容易计算的行列式.
例3 计算行列式
.
分析 这个行列式每列都有相同的因子2，3，从而考虑加边法.
解 将D添上一行一列，然后将最后一列依次加到前面各列.
,
将以上行列式逐列交换
.
3.4 利用范德蒙行列式
例4 计算行列式
.
分析 观察这个行列式发现与范德蒙行列式很相似，但是还是有所不同，通过加边法可以使其变为范德蒙行列式.
解 将添上一行一列补成一个范德蒙行列式
=
=,
中的的系数是
.
3.5 递推法
应用行列式的性质，将阶行列式用较低阶的形状与完全一样的行列式来表示，这种方法称为递推法.
a)如果n阶行列式满足关系式：.一般通过寻找以,为未知量的二元一次方程组，解出.
b)如果n阶行列式满足关系式：，则作特征方程.
若特征方程的判别式，则特征方程有两个不相等的根：.其中A，B为待定系数，令n=1,2,求出A，B.
若特征方程的判别式，则特征方程有两个相等的根：. 其中A，B为待定系数，令n=1,2,求出A，B.
例5 求n阶行列式
解 由于
，
作特征方程 它的两个根为2,3 .
令
，
令n=1,2 可得
，
解得A=-4，B=9 .所以.
3.6 数学归纳法
数学归纳法常与递推法一起使用，用递推法得到递推公式，再用数归法分析，可得出结论.一般情况，如果对角线元素是相同的，则用数学归纳法求解比较容易.
例6 证明
.
证明 按最后一行展开得,
当时，，命题成立.
当时，成立.
假设当时，命题成立.
则当时，
.
3.7 拆分法
拆分法是指如果行列式有一行（列）中的每一个元素都能写成两个元素的和，则可以将其拆成两个行列式的和，以达到简化计算的效果.
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