函数最值问题解法探讨

论文总字数：6851字

摘 要

关键词: 函数,最值，函数性质，理论依据

Abstract：Maximum and minimum values is one of important contents of function. This paper introduces some methods for functions’ maximum and minimum values including monotonicity and inequality and summarize the problems which should be aware of solving functions’ maximum and minimum values. We hope to provide a strong theoretical basis for solving actual problems.

Keywords: Function, maximum and minimum values, nature of functions, theoretical basis

目 录

1 引言………………………………………………………………………………4

2 求函数最值的几种解法………………………………………………………4

2.1 配方法………………………………………………………………………… 5

2.2均值不等式法……………………………………………………………… 5

2.3三角函数法…………………………………………………………………… 6

2.4单调性法……………………………………………………………………… 6

2.5判别式法……………………………………………………………………… 7

2.6拉格朗日乘数法………………………………………………………………8

2.7二次型理论法 ……………………………………………………………… 9

3 求解函数最值时应注意的一些问题 ……………………………………10

3.1 注意配方法的使用……………………………………………………… 11

3.2 注意不等式法的使用………………………………………………………12

3.3 注意判别式的使用…………………………………………………………12

3.4 无条件最值问题充分条件的误用………………………………………13

3.5 误将驻点等同成最值点…………………………………………………14

4 总结…………………………………………………………………………… 15

参考文献………………………………………………………………………… 16

致谢…………………………………………………………………………………17

1 引言

函数最值问题涉及中学数学的众多方面，历来是高考的重难点.同时在高等数学中，函数最值问题也占有很重要的地位.因此研究函数最值有很大的理论价值与实际意义.为了能更加系统地掌握函数最值的求解方法，本文将从如下两部分进行说明：

第一部分介绍几种函数最值的求解方法,主要通过对关于函数最值的相关知识的归纳与总结，向大家介绍几种函数最值的求解方法. 主要介绍了八种方法，分别为初等数学中的配方法，均值不等式法，三角函数法，单调性法，判别式法.高等数学中的拉格朗日乘数法，二次型理论法.

第二部分介绍求解函数最值时应注意的一些问题. 主要总结出五个应注意的问题.通过对易错点的总结归纳，提高求解函数最值的准确率，加深对求解函数最值方法的理解.

2.求函数最值的几种解法

2.1 配方法

配方法是求二次函数和可化为二次函数的函数最值的基本方法。解题步骤一般为:对于二次函数y=()的最值，先进行配方，再通过判断的正负以及结合的范围求出最值.

例1 ，求y的最小值.

解 原式化简即得 ,

此时若把看做一个整体，即,

令

,

配方得

,

所以,抛物线 的对称轴为,

(1)当 且 时, ,

(2) 当时， .

在利用二次函数配方法求最值时，要注意自变量的范围，并且要关注对称轴是否在自变量的区间内.这里要对自变量的区间范围进行一下分开讨论.如果区间是开区间，此时若对称轴不在该区间内，则无最值;若对称轴在该区间内,再看二次项系数的正负，大于零则有最小值，小于零则有最大值.若为闭区间,若对称轴不在该区间内，则比较两个端点值即可;若对称轴在该区间内，闭区间端点值和顶点值都需要进行比较，再得出最值.

2.2 均值不等式法

对于任意个正数,令,则,当且仅当时成立.

例2 ，试求在最大值.

解 ,

由均值式不等式得 ,

此时若等号成立，则

， ,

所以 ，函数最大值为 .

若目标函数是和的形式，往往利用均值不等式将目标函数转化为积的形式，而此时积恰好为常数，则得到目标函数的最小值;反之若将目标函数由积的形式转化为和的形式，则可得出目标函数的最大值.

2.3 三角函数法

有些最值问题，若出现平方和是一个正数的形式或者函数定义域为,可引进参变量，化为三角函数中最值问题 ，然后再利用正余弦函数的性质从而得出函数最值.

例3 若满足,求的最大值.

解 令 ,

进行三角换元

,

所以

,

,

, ,

又因为

,

所以得

,

因此 ，的最大值为.

三角函数与二次函数、不等式等知识联系非常密切.是函数最值问题的重要组成部分，在解题过程中要注意它们之间的联系与灵活运用.与此同时也要掌握必备的三角函数的知识.

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