无穷小量在求极限中的应用

论文总字数：4307字

摘 要

关键词：极限，无穷小量，等价，代换

Abstract：When finding limits, use substitution of equivalence infinitesimal will make calculations more concise and accurate. In this article, situations are discussed to which can be applied. Corresponding solutions are also given.

Keywords：limit，infinitesimal，equivalence，substitution

目 录

1 引言 …………………………………………………………………………………… 4

2 相关定义……………………………………………………………………………… 4

3 等价无穷小量代换方法及例题……………………………………………… 5

4 综合应用……………………………………………………………………………… 16

结论 ………………………………………………………………………………………… 21

参考文献…………………………………………………………………………………… 22

致谢 ………………………………………………………………………………………… 23

1 引言

极限运算是学习微积分学的重要基础，运算方法多种多样。如洛必达法则、泰勒公式、无穷小量乘以有界量、夹逼定理、换元法、单调有界的性质、去掉有限项目极限值不变化、利用导数定义、定积分的定义求极限、利用等价无穷小量替换、高阶无穷小量的性质、极限存在准则、一些重要极限等等。

求极限方法多种多样，但是方法的选择是否合适，却能直接关系到运算的过程是否简单，运算的结果是否准确无误。

在求极限中，等价无穷小代换是指在计算过程中，可以使用一些无穷小量与与其等价的无穷小量替换，从而使计算得到简化。然而寻求等价无穷小量的过程是不容易的，且替换过程常常会出现错误。本文就是针对这一问题，重点谈谈一些关于无穷小量求极限的方法，以便快速准确地解决极限问题。

2 相关定义

定义1设函数有定义，记为之一，且，则称为当时的无穷小量.

定义2设函数都是关于自变量在同一变化趋势下的无穷小量，其中为之一，若时，称和是等价无穷小量，记为.

定义3设函数都是关于自变量同一变化趋势下的无穷小量，其中为之一，若，称关于是高阶无穷小量，或称是的低阶无穷小量，记做.

定义4设函数都是关于自变量同一变化趋势下的无穷小量，其中为之一，若，就称和是同阶无穷小量.

一般地，若存在常数，变量自某值以后有，就称和是同阶无穷小量，记为或.

常用的等价无穷小量

当时，常用的基本等价无穷小量

，，，，，

，，，，.

当时，由基本等价无穷小量派生出的等价无穷小量,

，，，，，，，

，.

3 等价无穷小量代换方法及例题

3．1 直接型

定理1 设函数都是关于自变量同一变化趋势下的无穷小量，其中为之一，且若存在，则.

推论1 设函数都是关于自变量同一变化趋势下的无穷小量，其中为之一，且若存在，则.

推论2 设函数都是关于自变量同一变化趋势下的无穷小量，其中为之一，且若存在，则.

推论3 设函数都是关于自变量同一变化趋势下的无穷小量，其中为之一，且，为同一过程的另一函数，，则.

证明

.

推论4 设函数都是关于自变量同一变化趋势下的无穷小量，其中为之一，且若存在，则.

证明

例1求.

解 由于 当时，

.

故

，.

于是

.

例2求极限.

解

.

定理1表明，求两个无穷小量之比的极限时候，分子和分母都可用等价无穷小量代替，并且由定理1可以得到以四个推论.

3．2 增减项型

定理2 设函数是关于自变量同一变化趋势下的无穷小量，其中为之一，且，则

证明 由于，故

.

那么

.

即证

.

例3求.

解 当时，

，.

由定理2可知

，.

故

.

例4求极限.

解 当时，

.

显然与是比高阶的无穷小量，是比高阶的无穷小量,则由定理2可知

，.

所以

.

定理2说明：在求无穷小量代数和的极限时，可将阶数较高的无穷小量舍弃，从而达到简化计算的目的.

下面先来看一个例子。

例5 求.

错解 .

正解 .

该例子说明，在利用无穷小量代换求极限时，只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能利用等价无穷小量来替代，而对于极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.

那么，是否存在一定条件下，极限式中的相加或相减部分能够用无穷小量进行替代？又，若是存在这样的条件能够使极限式中相加或相减部分可用无穷小量进行替代，这些前提条件又是什么？

3．3 和差型

定理3 设函数都是关于自变量同一变化趋势下的无穷小量，其中为之一，且若存在，则.

推论1 设函数都是关于自变量同一变化趋势下的无穷小量，其中为之一，且若，存在，则.

证明 由定理3可知,当时，

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