关于行列式计算方法的若干探讨

论文总字数：5117字

摘 要

关键词：行列式，计算方法，加边法，裂项法，递推法

Abstract: The determinant is an important concept in linear algebra, and it has been widely applied in many fields of mathematics. However, the determinant calculation is a basic problem which is must be solved in the determinant application. In this paper, we mainly systematically inductive and discuss the calculation methods of determinant, and give some effective methods on the determinant calculation.

Keywords: Determinant, calculation method, add edge method, split method, recursive method

目 录

0 引言………………………………………………………………………………………………4

1 行列式的定义和性质………………………………………………………………………4

2 行列式的计算方法…………………………………………………………………………5

2.1 定义法…………………………………………………………………………………… 5

2.2 化成三角形行列式…………………………………………………………………… 6

2.3 降阶法…………………………………………………………………………………… 6

2.4 升阶法（加边法）………………………………………………………………………8

2.5 滚动消去法…………………………………………………………………………… 9

2.6 利用范德蒙行列式计算……………………………………………………………… 11

2.7 利用行列式的乘法规则计算……………………………………………………… 12

2.8 裂项法（分和法）……………………………………………………………………… 13

2.9 递推法……………………………………………………………………………………… 15

结论……………………………………………………………………………………………………16

参考文献…………………………………………………………………………………………… 17

致谢……………………………………………………………………………………………………18

０ 引言

行列式是线性代数中的一个重要的概念，在许多领域都有广泛的应用，而行列式的计算又是行列式理论中的一个最为基本的问题，也是一个较为复杂的问题．本文主要讨论各种类型行列式的计算方法，并从中总结出一些规律，从而使行列式的计算方法更加系统．

1　行列式的定义和性质

定义 阶行列式

等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积

（1）

的代数和，这里是的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：

当是偶排列时，（1）带有正号，当是奇排列时，（1）带有负号．这一定义可以写成

，

这里表示对所有级排列求和.

行列式具有如下的性质：

性质1 若将行列式转置，行列式的值不变．即

．

根据这一性质，行列式中行与列的地位是对称的，凡是对行成立的性质，对列也都成立．

性质2 以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式．这也就是说，行列式的某一行的公因子可以提到行列式符号的外面．即

．

性质3 如果行列式的某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式的这一行元素分别为对应的两个加数之和，其余各行的元素与原来行列式的对应行的元素一样．即

.

性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零．

性质5 如果行列式中有两行的元素对应成比例，那么行列式为零．

性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．

性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号．

2 行列式的计算方法

2.1 定义法

当行列式中含零元较多时，可以直接根据定义计算行列式的值．

例1 计算级行列式

．

解 按定义可知行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和，故而得

2. 2 化成三角形行列式

这种方法是利用行列式的性质，通过一系列适当的行列式变换将行列式化成三角形行列式．而三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积，即

，

这种方法是行列式计算中最常用的一种方法．

例2 计算级行列式

．

解 将行列式中的第一行的负一倍加到其余各行，得到一个上三角行列式，即

．

2. 3 降阶法

定理1（行列式按一行一列展开） 设

，

表示元素的代数余子式，则下列公式成立：

定理2（拉普拉斯定理） 设在行列式中任意取定了个行．由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式．

拉普拉斯定理是行列式按照某一行或某一列展开定理的推广．利用这两个定理可将高阶行列式转化为低阶行列式去处理，这种方法称为降阶法．一般情况下，在利用拉普拉斯定理前，为了方便计算，会先根据行列式的性质对行列式先进行变形，最后按零元多的第行或第列展开．

例3 计算阶行列式

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