常微分方程组数值仿真

论文总字数：5130字

摘 要

随着科技的进步和工业的发展，常微分方程在物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域受到了广泛应用.但是,大多数的常微分方程组都比较复杂，无法得到其显示解，很难得知方程组的解具有什么性质.本文将借助Matlab中的数值仿真功能，对几类常微分方程组建立数值仿真，并得到图像.从得到的图像可以为研究指明进一步的方向，也可以用于验证已知结论的正确性.

关键词：常微分方程，Matlab，Simulink，数值仿真

Abstract：With the development of science and industry, ordinary differential equations have been widely used in physics, chemistry, biology, engineering, aerospace, medical, economics and finance. However, most of ordinary differential equations are complicated, which cannot be solved explicitly, and some other properties of the solution are hard to obtained. This thesis will establish numerical simulations for several ordinary differential equations and plot their figures by using the numerical simulation in the Matlab. These figures can help to point the way for research, and also can be used to verify the correctness of the known conclusions.

Keywords：ordinary differential equations, Matlab, Simulink, numerical simulation

目 录

1 前言 4

2 对常微分方程进行数值仿真 5

2.1 常微分方程的数值仿真 5

2.2 齐次方程模型的建立 6

2.3 二维微分方程模型的建立 7

3 常微分方程在生物数学中的应用 8

3.1 细菌（数量）生长规律 8

3.2 食饵-捕食者 9

3.2.1 Lotka-Volterra方程的引入 9

3.2.2 Lotka-Volterra方程的初值解 9

3.3 对于互惠系统方程的数值模拟 11

结 论 14

参考文献 15

致 谢 16

1 前言

在工程实际中，控制系统的结构往往很复杂，Simulink提供了一个系统级的建模和动态仿真的图形用户环境，并且凭借MATLAB在科学计算上的天然优势，建立起了从设计构思到最终要求的可视化桥梁，本文运用Simulink对一般的微分方程建立模型并画出其解的图形.本节将以一个简单的一维微分方程为例说明如何将给出的微分方程用模型建立图形来表示，并得出一些有益的结论.

例1 方程

(tgt;0)

做出这个方程的模型图

在此模型图中，我们运用到了Continuous(连续系统模块库)中的（积分）；

Math Operations(数学运算模块库)中的（乘法）、（增益）；

Sinks(接受模块库)中的（输出）、（示波器）.

这里，我们不妨将初值定为1，将时间参数设为100，运行可得到下面的波形图

（初值定为0.1） （初值定为0.5）

（初值定为1.5）

我们可以发现，结果为一条光滑的曲线，并且随着时间t的不断增大逐渐趋于一个定值，当初值逐渐增大时，在0-20秒的时间内，曲线越陡.

2 对常微分方程进行数值仿真

在绪论中，我们得到了用Simulink对一维微分方程进行模拟的方法，这一章我们将通过一些有代表性的例子来演示如何运用Simulink对常微分方程进行数值仿真，并且对结果做出一些有意义的分析讨论.

2.1 常微分方程的数值仿真

这一节我们将通过对三个例子的说明运用Simulink对常微分方程进行数值模拟的方法，并通过对模块不同参数的比较做一些分析.

2.2 齐次方程模型的建立

例2 方程

下面我们对此方程做出模型图

我们不妨将的初值定为0；的初值定为1，时间参数为默认值，

这样可得到下图所示的波形图

我们看上图所示结果，方程的结果图形是平滑的曲线，

在0-4秒的时间段内，是先增大后减小的，tgt;4以后，是趋于0的；

在0-2秒的时间段内，是逐渐减小的，当tgt;2以后，先增大后减小趋于0.

2.3 二维微分方程模型的建立

例3 方程

对于这个二维的微分方程，首先我们做出它的模型图

这里，我们不妨取终止时间为5，初值，可以分别得到时间相应曲线和相平面曲线

时间响应曲线 相平面曲线

我们可以看到时间响应曲线是两条光滑的曲线，并且初值开始以指数的形式趋于0；

相平面曲线图为一条直线，由初值逐渐趋于0.

3 常微分方程在生物数学中的应用

常微分模型在生物数学中是十分重要的一类模型，它对种群增长的生态关系的研究起着重要的作用，本节我们将对生物数学中的细菌（数量）生长规律、食饵—捕食者系统和互惠系统进行模拟，并且对其中的一些实际意义作出说明.

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：5130字