高等代数中基于准对角矩阵的化归方法

论文总字数：6215字

摘 要

关键词：化归方法，高等代数，准对角矩阵

Abstract：Reduction is a basic thinking way to study math problem, also often used in advanced algebra to thought. This paper expatiates on the method of transforming the basic thought, on the basis of some matrix is discussed problem transforming subject of diagonal matrix.

Keywords：Reduction method, advanced algebra, quasi diagonal matrix

目 录

1化归方法··············································4

1.1 化归方法的定义······································4

1.2化归方法解决问题应遵循的原则························5

1.3用化归方法解决问题的注意点··························5

2预备知识··············································5

3将问题化归为对角元素的问题···························6

4将问题化归为对角块的问题······························9

5将问题化归为准对角矩阵的分解问题····················· 11

6将矩阵的构作问题化归为准对角矩阵的构作问题···········12

结论···················································14

参考文献················································15

1 化归方法

1.1 化归方法的定义

人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，把这种思想方法称为化归思想．

化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法．

数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题．因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用．

1.2 化归方法解决问题应遵循的原则

化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题．因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：

数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法．数学来源于生活，应用于生活．学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力．因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一．

熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题．人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程．从某种程度上说，这种转化过程是一个探索的过程，也是一个创新的过程．因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则．

简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题．对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂．因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策．

直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题．数学的特点之一便是它具有抽象性．有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决．

特殊化原则，即把一般的问题转化为特殊的问题．解决特殊的问题，从而推广到一般的问题．

根据化归思想所遵循的几项原则，我们在利用化归思想解决问题可使用如下几种策略：化实际问题为数学问题、化未知问题为已知问题、化繁杂问题为简单问题、化抽象问题为直观问题、化一般问题为特殊问题．

1.3 用化归方法解决问题的注意点

应用化归方法解决数学问题时，应注意如下几点．

要注意化归的有效性和规范性．化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法和途径三个要素.因此，化归思想的实施应有明确的对象，设计好目标，选择好方法．而设计目标是问题的关键.因此，在解题过程中，始终必须紧紧盯住化归的目标，即始终应该考虑这样的问题：这样才能达到解原问题的目的.在这个大前提下，实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同.

要注意问题转化的等价性．化归包括等价化归和非等价化归，在中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果.

要注意问题转化的多样性．利用化归思想解题时，转化的途径和方法不一定相同，但有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已知问题之间架起一个联系的桥梁，这就是知识之间的“关系键”，这就要求我们在学习数学的过程中，要不断的构键知识结构，形成知识网络，要领悟蕴含在数学内容之中的数学思想方法，这些都是提高数学解题能力的条件和基础．

2 预备知识

在高等代数中也经常用到化归思想，如利用同构方法将一个线性空间化归为一个具体的线性空间、在线性空间中取定一组基以后，可以将抽象的向量化归为具体的维向量问、将线性变换归结为矩阵等．本文主要探讨将矩阵有关的问题化归为准对角矩阵的问题．

在本文中，如不作说明， 是数域上的矩阵，为的转置矩阵，为的迹(即矩阵的对角元素之和)，为对角元素为的对角矩阵．

命题1 若矩阵的秩为，则与对角矩阵等价，即有有阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使．

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