欧拉积分及其应用

论文总字数：6534字

摘 要

本文通过研究欧拉积分即伽玛函数和贝塔函数的定义和性质、两类欧拉积分之间的联系，探讨其在积分学、数列极限、物理学方面的应用.特别地,对某些复杂的定积分计算问题，通过适当的变换将其转化为欧拉积分，再应用欧拉积分的性质,从而使问题巧妙地得到解决，进而为一些特殊类型的定积分计算提供了一种有效的方法.

关键词：欧拉积分，伽马函数，贝塔函数，定积分，广义积分

Abstract: In the paper, we first give the definition, properties and relationships of Euler Integral which contains two very important integral functions：gamma function and beta function. Then we discuss the application of them in integrals, sequence limits as well as Physics. Especially, we aim at solving some very difficult definite integral calculation problems. These problems are transformed into Euler integral through certain transformation at first. Then these problems are solved easily by using some of properties of Euler integral，so it provides an effective method of solving some special types of definite integral calculation to us.

Key words: Euler Integral,Gamma function,Beta function,definite integral,abnormal integral

目录

1引言　…………………………………………………………………………4

　2 伽马函数和贝塔函数的预备知识…………………………………………4

2.1 伽马函数…………………………………………………………… 5

2.2 贝塔函数 ……………………………………………………………… 6

2.3 伽马函数和贝塔函数的关系 ………………………………………… 7

3 欧拉积分的应用…………………………………………………………… 9

3.1在积分学中的应用……………………………………………………… 9

3.2 在数列极限方面的应用 ………………………………………………14

3.3 在物理学中的应用………………………………………………………15

结论 ………………………………………………………………………… 17

参考文献………………………………………………………………………18

致谢……………………………………………………………………………19

1. 引言

微积分是数学分析中研究函数的微分、积分以及有关概念和应有的数学分支，是数学一个基础学科.欧拉积分是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）整理得出的两类含参变量的积分，第一类欧拉积分：贝塔函数，第二类欧拉积分：伽马函数.其中伽马函数是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数，该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用.

欧拉积分不仅在数学领域中有重要的应用，比如定积分、广义积分计算，极限，重积分的应用，而且在物理和工程技术等方面都有广泛的应用.由此可见欧拉积分的重要性和广泛性.

关于欧拉积分，很多前辈做了大量的工作.比如，于亚萍给出了伽马函数和贝塔函数在数学方面的广泛的应用，让我们对欧拉积分有了更深的认识；肖小英和曾丽华概述了伽马函数和贝塔函数的定义及性质，然后将其应用到定积分、广义积分计算.田兵叙述了定积分的定义以及有关性质，着重通过举例来说明欧拉积分在实际计算中的应用，详细展示了欧拉积分的应用的广泛性和重要性.王琪和张国林通过研究包含两类重要的积分函数：伽马函数和贝塔函数的欧拉积分的定义及性质，进一步深入探讨其在定积分、广义积分中的应用，给出了欧拉积分在积分学中详细的介绍.赵纬经和王贵君针对某些较大难度的的积分问题，给出了利用欧拉积分求解的新方法.关于积分学中定积分计算问题而言,常规的做法是先求出原函数,再利用牛顿-莱布尼茨公式代入上下限进行计算、求解.但对于一些题目中有明显的特征,有时也采用变量替换,递推等技巧方法来处理.另外，针对一些难度较大的定积分计算问题,如果只局限于上述方法,通常是不容易计算出结果.若技巧使用不当,还可导致计算过程繁杂、事倍功半.而在积分计算等方面利用伽玛函数和贝塔函数经常会起到意想不到的简便效果.所以本文将给出这两个函数（伽玛函数和贝塔函数）的定义、性质、应用的介绍和一些有用的结论.

2 伽马函数和贝塔函数的预备知识

含参变量积分:

,

,

统称为欧拉积分,前者称为伽马函数（函数）,后者称为贝塔函数（函数）.下面我们分别研究这两个函数的性质.

2.1 伽马函数

性质2.1[1] 在定义域内连续且可导.

证明 由于

其中当时是正常积分,根据柯西判别法可以推得，当时是收敛的无界函数反常积分；当时是收敛的无穷限反常积分.所以的定义域为.

在任何闭区间上，对于函数，当时有，由于收敛，从而在上一致收敛；对于当时，有，由于收敛，从而在上也一致收敛.于是在上连续.

考察积分

.

它在任何闭区间上一致收敛.于是在上可导，由的任意性，在上可导，且

.

依照上面方法还可以推出在上存在任意阶导数：

.

性质2.2[1] 递推公式,特别时.

证明 根据分部积分法，有

令就得到函数的递推公式

.

设，即，应用递推公式次得到

若为正整数，则上式为

性质2.3[1] 延拓后的函数除在外均收敛.

证明 由递推公式改写得

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