范德蒙行列式的应用

论文总字数：6027字

摘 要

关 键 字：行列式，范德蒙行列式，空间向量，线性变换.

Abstract:This paper summarizes the application of Vandermonde determinant.And it’s combined with the determinant calculation and calculus, vector spaces, and illustrated by examples.

Keywords: determinant, vandermonde determinant,lnear transform,calculus.

目 录

1 引言……………………………………………………………………………4

2 范德蒙行列式定义………………………………………………………… 4

3 范德蒙行列式的应用…………………………………………………………4

3.1 范德蒙行列式在行列式计算应用…………………………………………4

3.1.1 应用行列式性质计算……………………………………………………5

3.1.2 应用乘法规则计算 ……………………………………………………7

3.1.3 应用升阶法计算………………………………………………………10

3.2 范德蒙行列式在其他方面应用…………………………………………11

3.2.1 应用范德蒙行列式在插值多项式中的应用…………………………11

3.2.2 应用范德蒙行列式在微积分中的证明………………………………12

3.2.3 应用范德蒙行列式确定多项式的系数………………………………14

3.2.4 应用范德蒙行列式在向量空间中证明………………………………15

结论………………………………………………………………………………17

参考文献.………………………………………………………………………18

致谢………………………………………………………………………………19

1 引言

范德蒙行列式作为一种重要的行列式，在计算的过程中可以将一些特殊的或者其他行列式转化为范德蒙行列式，从而能够简化计算.范德蒙行列式的应用也比较广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它可以应用于证明行列式的问题和一些关于多项式方面以及某些特征向量线性无关等问题上.

2 范德蒙行列式

定义 形如行列式

(2.1)

这样的行列式称为阶的范德蒙（Vandermonde）行列式.根据递推法容易证明得到

,

有时范德蒙行列式也可写成

,

并且有.

3 范德蒙行列式的应用

范德蒙行列式不仅形式漂亮，它在许多方面有着重要的应用.

3.1 范德蒙行列式在行列式计算中的应用

首先，范德蒙行列式拥有普通行列式的所有性质.例如：行列互换，行列式不变；以一个数乘行列式的一行（列），相当于用这个数乘此行列式等等.所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，或者少了范德蒙行列式的某一行或列，需利用行列式性质（如提取公因式，调换各行（或各列）的次序,拆行（列）等）将行列式化为范德蒙行列式.

3.1.1 应用行列式性质计算

在行列式的计算中，我们可以利用行列式性质来对形如“范德蒙”的行列式进行转化计算.如果具有范德蒙行列式各项但顺序不同，可以利用行列互换转化成范德蒙行列式的形式进行简便计算.

例1 计算

这个阶行列式顺序恰好与范德蒙行列式的排列顺序相反的，因此需要行列式中的行列互换公式依次将行列式中的第与上行交换一直到与第一行为止.第行与上一 行交换一直到第二行，如此下去.经过了

次变换后变成了范德蒙行列式.

解 经过

次行的交换得到阶范德蒙行列式，

.

我们常常还会遇到行列式中各项部分是范德蒙行列式，我们可以提取部分出来构成新的范德蒙行列式，从而进行简便计算.

例2 计算阶行列式

观察数列每一行发现每一行都有共同部分，利用行列式的性质提取公因子行列式得范德蒙行列式的基本形式，根据公式计算.

解 提取公因式得

.

在一类行列式中，行列式各项成和的形式，我们可以利用行列式性质将其转化为标准行列式形式.

例3 计算

观察这个阶行列式，容易发现从第二行开始都是和的形式，并且每行的部分可以构成一个范德蒙行列式，下面需要思考如何构造出范德蒙行列式.易观察得第一行乘以加到第二行，第二行成范德蒙行列式的第二行.第二行乘以加到第三行，以此类推，原行列式可以化简成范德蒙行列式基本形式.

解 将的第1行乘以加到第2行得：

.

再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行得

.

再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得

.

该式即为4阶范德蒙行列式，故

.

若的第行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且中含有由个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将的第行（列）乘以-1加到第行（列），消除一些分行（列），即可化成范德蒙行列式.

3.1.2 应用乘法规则计算

在行列式的性质概念与范德蒙行列式相结合以后，行列式的问题基本计算已经得到解决.但是一些各项比较复杂的行列式解题上依然比较困难.主要原因是综合应用能力较弱，亟待加强.下面我就要通过范德蒙行列式与行列式的乘法形式相结合举例说明一类较复杂的行列式计算.

例4 计算

.

这个行列式相比于前面计算中各项都比较复杂，不容易察觉各项之间关系.这时候我们需要借助一些行列式中的其他计算形式来简化我们的计算.要计算这的值，那么可以把分解成为两个行列式的乘积.

解

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