若干积分不等式的推广及应用

论文总字数：3252字

摘 要

Holder不等式、Young不等式的一类推广形式，并应用这些推广给出一些积分不等式的证明。我们也对一个特定型积分不等式做了推广，并给出其应用。

关键词：积分不等式，Cauchy-Schwarz不等式，Holder不等式，Young不等式

Abstract: In this thesis, we studied the popularizations and applications of some integral inequalities. We concluded a kind of popularizations of Cauchy-Schwarz inequality, inequality and Young inequality, applied these popularizations to give the proofs of some integral inequalities. We also generalizated a special integral inequality and gave the application.

Key words:Integral inequality,Cauchy-Schwarz inequality,inequality, Young inequality

目 录

1引言 ……………………………………………………………………………4

2 预备知识 ………………………………………………………………………4

3 Cauchy-Schwarz不等式的推广与应用………………………………………5

4 Hlder不等式的推广与应用…………………………………………………6

5 Young不等式的推广与应用 …………………………………………………8

6 一个特定型定积分不等式的若干推广 ………………………………………9

结论………………………………………………………………………………11

参考文献…………………………………………………………………………12

致谢………………………………………………………………………………13

1 引言:

自高斯、柯西时代发展起来的积分不等式，奠定了近似方法的理论基础。今天,积分不等式在数学的所有分支中占有很重要的地位，而它们本身也提供了十分活跃且具有吸引力的研究方向。

在数学分析课程的学习中，积分不等式的证明也是很重要的一类问题。应用Cauchy -Schwarz 不等式、不等式、young不等式等著名不等式证明的问题是各种教材、资料和参考文献中大量讨论的。积分不等式中有部分问题形式较为特殊,直接证明或者运用以上几类不等式证明均较为困难,但利用这些不等式的推广形式却可以给出很简单的证明。本文集中讨论了这几类积分不等式的一些推广，以及如何应用这些推广形式给出一些特殊形式的积分不等式的简单证明。

2 预备知识：

1 设均在上可积,则有著名的Cauchy-Schwarz不等式

当存在一组不全为零的数时等式成立.

2 不等式

设

,

当且仅当

3 young不等式

3 Cauchy-Schwarz不等式的推广及应用

Cauchy-Schwarz不等式可以改写为以下行列式形式:

.

以这样的形式给出的Cauchy-Schwarz形式更为美观,也易于发现其推广形式.将,增加为Cauchy-Schwarz不等式中的两个函数情形可以推广为多个函数的情形.

定理3.1　设均在上可积,则有

≥0

证明:注意到关于的二次型

为非负二次型,从而其系数行列式

≥0,

从而定理3.1得证

例1. 设上可积且满足:（1）（2）

证明：应用定理3.1,取

由此得到：

注意到定理中的条件（1）从而

4 不等式的推广及应用

本节将对不等式中的两个参数推广为多个参数,推广如下：

定理4.1 设函数,则

当且仅当其中有函数恒为0,或

时,等号成立.

例2. 试证明

分析：证明这道不等式的传统方式是分别计算出左右两边进行大小比较,但如果利

用定理4.1则本题就一目了然了.

这表明在熟练掌握定理4.1后,可以不用进行复杂运算直接得出不等式.

例3.

5 Young不等式的推广与应用

定理5.1

证：

注：若将上述定理推广到个函数乘积的情形,即

例4：

6 一个特定型定积分不等式的若干推广

定理6.1 我们熟知当函数,则

若零点为闭区间上任一点,亦即,若存在该积分不等式仍然成立．那么如果存在两个零点或者更多零点,积分不等式又会发生什么样的变化了？

推论1 函数,则.

推论2

例6

由推论2得:

不等式得证.

结论

积分不等式的证明是很重要的一类问题.积分不等式中有部分问题形式较为特殊,直接证明或者直接运用Cauchy-Schwarz不等式,不等式,Young不等式等著名不等式证明均较为困难,但利用这些不等式的推广形式却可以给出这些问题很简单的证明.本文集中讨论了这几类积分不等式的一些推广,以及如何应用这些推广形式给出一些特殊形式的积分不等式的简单证明。

参考文献:

[1] 匡继昌.常用不等式[M].长沙:湖南教育出版社, 1989.

[2] 杨和稳.积分不等式证明技巧解析[J]. 高等数学研究, 2009(6):25-28.

[3] 何晓娜.构造变上限函数证明积分不等式[J]. 广西民族师范学院学报, 2011(3):15-16.

[4] 李晓莉.借助几何直观证明一类积分不等式[J]. 西安邮电学院学报, 2003(3):41-43.

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