数列求和的方法与技巧

论文总字数：6001字

摘 要

数列问题是高中数学的重点教学内容，而数列求和是数列问题中比较难的一个环节，技巧性非常强。本文中分析和总结了中学数学中一些关于数列求和问题的基本方法和技巧, 希望能够帮助学生掌握数列求和问题的解题规律,提高他们的解题能力和对于综合知识的应用能力.

关键词: 数列；通项公式；求和公式

Abstract : The problems of sequences were the priority of mathematical teaching in high school, and the summation of sequences was a difficult part of the problems of sequences. In this thesis, we analyzed and summaried some basic methods and techniques on the problems of the summation of sequences in high school, hoped to help the students to acquire the laws of solving the summation of sequences and improved the students" ability of solving mathematical problems and applied ability of comprehensive knowledge .

Keywords: sequence；general term formula ；summation formula.

目 录

1 引言…………………………………………………….4

2 数列求和的几种方法………………………………….4

2.1 求和公式法……………………………………………5

2.2 错位相减法求和………………………………………5

2.3 拆项转化求和法………………………………………6

2.4 裂项消除法求和………………………………………8

2.5 倒序相加法求和………………………………………9

2.6 数学归纳法求和………………………………………10

结论………………………………………………………...12

参考文献….………………………………………………..13

致谢………………………………………………………..14

1 引言

人类在古代随着自然数、分数的概念和四则运算的产生,为了生产与生活的需要,就产生了数列的知识.在世界数学史上,对级数(数列)的讨论具有悠久的历史,中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等,都曾经研究过级数,中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子算经》《张邱建算经》等,对等差级数和等比级数都列举出计算的例子，说明中国古代对级数的研究曾作出过一定的贡献.古老的《易经》一书中写道:“是故《易》有太极,是生两仪;两仪生四象,四象生八卦”,实际上,这种分割,已经寓有数学中等比数列的思想.

今天数列求和是数列教学中的核心问题之一.在初等数学的教学过程中，等差数列和等比数列的求和问题，以及可以转化为以上两种数列求和问题，是数列教学过程中不可忽视的一个环节.数列求和的技巧性极强，覆盖面广，能够很好的考察学生的运算能力，推理能力以及分析问题的能力

本文中分析和总结了中学数学中一些关于数列求和问题的基本方法和技巧, 希望能够通过这样的过程掌握数列求和问题的解题规律, 为做好这一部分内容的教学,提升学生数学能力提供帮助.

2 数列求和的几种方法

等差数列、等比数列的求前n项和Sn的公式是我们计算数列前n项和的基本工具:

(1)对等差数列,为公差,则数列前n项和为

.

(2) 对等差数列,为公差,则数列前n项和为

.

当时, 令,可以得到等比数列的无穷和计算公式

.

记忆和使用数列求和公式并不困难,但实际教学中出现的问题,往往是需要对问题转化后再利用数列求和公式计算,或者运用计算公式以后的方法解决的.本文中,我们也着重讨论这些有一定技巧的解题方法.

2.1 求和公式法

按数列的具体情形将数列求和进行适当转化, 然后运用求和公式.

例1 ：求和.

解：①当n是偶数时：

.

②当n是奇数时：

.

例2：设任意实数满足lt;1,lt;1,求证: ≥.

本题看似与数列求和无关,但将题中出现的式子分组进行分析,联想到等比数列的求和公式, 就可以将题中式子转化为无穷等比数列的无穷和.

解: = () ()

= 2 () () () …

≥2 …

= .

2.2 错位相减法求和

当数列的通项公式形如=，其中为等差数列，等比数列,是等比数列与等差数列相乘的形式时,可以运用错位相减法进行数列求和.
错位相减法的使用技巧是: 分别列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后交错一位，两式相减即可.

例如运用错位相减法求等比数列和的一个过程.

例3.
　 解: 两边同时乘以得:　.

(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些） 
　　 两式相减 
　 　, 
　 　.

下边的例子是错位求和法解题的标准过程.
　 例4.求和=… .
　 解: 当时，=…,
　　 ∴=…,
　　 两式相减得

,

化简得

.

注1: 用错位相减法求和的数列的通项公式中若有常数（无论是等差数列还是等比数列中），均应该将通项公式等价变形，把常数提到“最前面”（本质是提取公因数）单独考虑，达到简化计算的目的.例如=的分子中有“”，把“”提到最前面，将等价变形为.

注2: 这类题目还会有一些变形，比如:等差数列或等比数列的前一项，前几项或前有限项不能构成等差数列或等比数列;错位相减后，第一项可以与“括号中的项”合并构成一等比数列的前项的和等. 这些需要将原数列变形后灵活运用以上的运算流程.

2.3 拆项转化求和法

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