函数极限的若干求法

论文总字数：5466字

摘 要

关 键 词：函数极限,洛必达法则,两个重要极限,泰勒公式,等价无穷小

Abstract: This paper summarizes some of the method for the limit function. And it’s combined with concrete examples which are given for each method.

Keywords: the limit of function, L"Hospital rule, two important limits, Taylor formula of equivalent, infinitesimal

目 录

1引言 4

2函数极限的定义 4

3函数极限的计算 4

3.1 利用定义求极限 4

3.2 直接代入法 5

3.3 四则运算法则 6

3.4 利用两个重要极限 6

3.5 夹逼定理 7

3.6 约去零因式法 8

3.7 等价无穷小的应用 8

3.8 无穷小量与有界函数的乘积 9

3.9 有理化法 10

3.10 变量代换法 10

3.11 洛必达法则 11

3.12 利用极限存在的充要条件 12

3.13 泰勒公式 12

4结论 16

5参考文献 17

6致谢 18

1引言

极限研究的是函数的变化趋势，在自变量的某个变化过程中，对应的函数值能无限的接近某个确定的数，那么这个数就是函数的极限.极限是高等数学中一个非常重要的概念，是贯穿高等数学的一条主线，它将高等数学的各个知识点连在了一起,所以熟练的掌握求极限的方法显得尤为重要.我们知道，函数是高等数学研究的重要对象，所以怎样求函数极限就更为重要.

早在我国古代刘徽的《九章算术》中提到“割之弥细，所失弥少，割之又个割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”就涉及到了极限,古希腊人的“穷竭法”也蕴含了极限思想.到了世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义.在有了极限的定义后，为了判断具体某一函数是否具有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多科学家们的不断努力之后，法国数学家柯西获得了完善的结果，即柯西收敛原理.到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义.有了极限的具体定义自然就有了许多不同的求极限的方法.

求函数极限的方法有很多，本文将对求极限的方法作一系列地归纳总结.

2 函数极限的定义

函数极限的定义包括和等六种定义形式，由于我们主要讨论时函数的极限情况，所以我们给出函数极限在时的定义.

定义1 设函数在点的某个空心邻域内有定义,为实数.若对任给的,存在正数,使得当时有

则称函数当趋于时以为极限,记作

或 .

3 函数极限的求法

函数极限的求法很多，本文从利用函数极限的开始，逐一归纳.

3.1 利用定义求极限

利用定义法求解往往是一般数学题的常规思路，对于求极限的问题也是如此.

例1 求.

对于这样的问题,往往要先证明.

证明 对，要使，只要即可.而

，

不妨设，则，，则

，

因此,只要取，那么当时,就有

.

所以

.

从刚才的操作过程可知，过程比较繁琐，运用很不方便.为此，我们要进一步探讨函数极限的其它求法.

3.2 直接代入法

利用定义法虽然是求极限的首要方法，但是过程比较繁琐，那就不禁会想到，能否直接代入法呢.

根据函数的连续性将函数值直接代入函数表达式，试着求出函数的极限值.

引理1 设函数在处连续，则.

定义2 设函数是由函数函数复合而成，在点处连续，在处连续，且，则

例2 求.

解 是初等函数，而且在处连续，所以

.

直接代入法利用了连续函数的性质，它的前提条件是函数在处连续.

3.3 四则运算法则

当函数在处连续，或者极限存在，对于由通过四则运算构成的函数，可以直接用极限的四则运算法则.

引理2 设则

(1)

(2)

(3)其中.

例3 求.

解

.

极限的四则运算法则与函数的连续性往往综合起来使用，但它们需要的前提条件非常强，要么连续，要么极限存在.对于函数在不连续的问题，往往还要进一步探索.

3.4 利用两个重要极限

两个重要极限，就给出了函数在不连续时的运算结果，在以后计算的极限计算中，我们可以把这两个结果直接使用到运算中去.

例4 .

解 这显然从格式上像第一重要极限.由于

，

当时，，由第一个重要极限及其一般形式立刻得到

例5 .

初看起来似乎与这两个重要极限没有关系，但只要进过适当的恒等变形，就可以了.

解 由于

，所以

（凑成第二重要极限的推广形式）

.

3.5 夹逼定理

当从函数自身难以求出它的极限时，但适当地放大或者缩小，可以转化为易于求得的函数极限，而且它们的极限值还相等.

引理3:若(其中为某个正的常数),有

,,则

.

例6 求 （）.

解 由于

即

又因为

，

，

所以

.

3.6 约去零因式法

若某个因式的极限在自变量的某个变化趋势下为零，则称该因式为自变量在某个变化趋势下的零因式.该方法一般适用于时分母趋于或分子、分母都趋于的情况.

例7 求.

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