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摘 要

关 键 词：互素，最大公因式，初等变换，数值矩阵法

Abstract:The definition, character the greatest common divisor of polynomial and the solutions of it are discussed in this paper. Every solution has one example which illustrates it. At last,the

 applicability and limitations of each solution are concluded through the illustration.

Keyword：mutual number, the greatest common factor, elementary transformation, numerical

 matrix method

目 录

1 引言………………………………………………………………………………………………………4

2 一元多项式最大公因式…………………………………………………………………………4

3 多项式的互素…………………………………………………………………4

3.1 多项式互素的定义与判断…………………………………………………4

3.2 多项式互素的性质…………………………………………………………4

3.3 互素概念的推广……………………………………………………………5

3.3.1 二元多项式的互素………………………………………………………5

4 一元多项式最大公因式的求法………………………………………………6

4.1 因式分解法…………………………………………………………………6

4.2 辗转相除法…………………………………………………………………7

4.3 方程组法求解多项式的最大公因式………………………………………9

4.4 矩阵的初等变换法………………………………………………………10

4.5 数值矩阵法………………………………………………………………11

4.6 矩阵的斜消变换法………………………………………………………12

5 结论…………………………………………………………………………15

6 参考文献……………………………………………………………………16

7 致谢…………………………………………………………………………17

1 引言

多项式是代数学中最基本的对象之一，它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到.最大公因式理论是多项式理论中一个重要的组成部分，也是多项式理论的基础。而求解一元多项式的最大公因式是研究一元多项式理论的基础.许多实际问题都可归结于多项式最大公因式的求解.一元多项式最大公因式的解法，在高代教材中已经做了许多介绍.如因式分解法，辗转相除法，矩阵的初等变换法，矩阵的斜消变换法，数值矩阵法等.每种方法的适用题型以及和特点不一.本文通过查阅和参考相关的资料，在本文中根据各种方法的特点以及适用的题型进行详细的分析，并作归纳小结.从而为求最大公因式的这类题目提供一定的帮助.

2 一元多项式最大公因式

在高等代数教材中，有以下定义和定理.

定义1 如果多项式既是的因式，又是的因式，那么就称为与的一个公因式.

定义2 设，是中两个多项式.中多项式称为，的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：

（1）是的公因式；

（2）的公因式全是的因式.

引理1 对于中任意两个多项式,在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式,使

.

3 多项式的互素

3.1 多项式互素的定义与判断

定义3 如果，且那么就说，即两个多项式只有零次公因式时，称为互素.

引理2 中的多项式互素当且仅当存在两个多项式和，使得

.

3.2 多项式互素的性质

互素是多项式讨论中的一个重要概念,下面在所给互素的基本性质基础上,进一步讨论多项式互素的性质.

（1）若都与互素，那么也与互素;

（2）若且与互素，那么;

（3）若且与互素,那么.

例1 证明 如果，，那么．

证明 假设，则一定存在不可约多项式使得

|和|，

又因为不可约，则有

|或|，

这样或，与条件矛盾．所以

．

3.3 互素概念的推广

两个多项式的互素，可以推广到多个多项式的情形.

定义4 的最大公因式是指满足以下条件的多项式：

（1）

（2）

定义5 若，则说是互素的,如果

则称为两两互素的.

例2 设都是多项式，而且

．

求证 ．

证明 假设，则存在不可约多项式使得

和.,

又因为不可约，故存在，使得,,,则有

这与条件矛盾，故

．

3.3.1 二元多项式的互素

引理3 ，它们互素的充要条件是存在及使得

，

，

其中都不是零多项式.

例3 证明与互素.

证明 由辗转相除法易得到

，

.

因此

，

.

由引理3知与互素.

4 一元多项式最大公因式的求法

众所周知,最大公因式求解是多项式理论中的核心部分,许多实际问题最终常常归结为求解多项式的最大公因式,因此,面对多项式的最大公因式求解方法及相应的算法实现的研究就成了人们普遍关注的问题.

4.1 因式分解法

利用两个或多个多项式的标准分解式可以很快的得到其最大公因式.设多项式与的标准分解式分别为：

,

,

上式，分别是的首项系数，是两两不等的首项系数为1的不可约多项式，是非负整数，则，这里，.

例4 设，用因式分解法求多项式的最大公因式.

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