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摘 要
本文研究了行列式函数取极值的条件，给出了相关的判定方法，并通过实例说明了它们的应用．关键词：函数，极值，行列式，导数
Abstract:In this paper we studied the extreme values of conditions about the determinant. prive the related of the method to determine,and illustrates their application by examples.
Keywords:function extreme value,determinant,derivative
目 录
1 引言 4
2 用行列式判断多元函数极值 4
2.1定理1 4
2.2定理2 6
3 用导数求行列式的极值 8
3.1 行列式的求导法则 8
3.2 导数在解行列式问题上的应用举例． 8
结 论 10
参考文献 11
致 谢 12
1 引言
函数的极值不仅是函数的重要特征，而且在实际中也有重要的应用．函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在现实生活中存在着许多和极值有关的问题，由于函数极值的广泛，加之函数本身变化纷繁，所以人们对求函数极值的方法研究的较多．
多元函数极值的概念：设函数在点的某邻域内有定义，若对于任何点，成立不等式
（或）,
则称函数在点取得极大（或极小）值，点称为的极大（或极小）值点．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极大值点，极小值点统称为极值点．
本文将重点介绍用行列式解决函数极值的方法．
2 用行列式判断多元函数极值
2.1 定理1
若函数在点的邻域内有定义，且有一阶及二阶连续偏导数，则当，且
， ．
时，函数取得极小值．当
， ．
时，函数取得极大值．
证明 由泰勒公式，并且注意到在，有
由于的一切二阶偏导数在连续，记
，，，
，，.
于是
．
当二次型
=．
不为时，注意到时，都是无穷小量，所以存在点的一个邻域，使得在这个邻域内，的符号与的符号相同，而当时，的符号便取决于
．
的符号了．
对于二次型：
=．
它的判别式： =，当gt;0时gt;0，gt;0，也就是说当为正定二次型时，引入点与之间的距离．从（1）式的括号内提出，并令,, ．改写的表达式为：
． （2）
易见的数值并不同时等于0，若为正定的则在（2）式的前一括号和式恒为正号，进一步说，因为,所以必能找到这样的常数，使对有的一切可能的一切数值，总有
． （3）
实际上这一和式是变元在全空间的连续函数，特别在满足关系（3）式的点的集合中的也是连续函数，所以这一和式在上述集合中有最小值它必然是正的，因为这一和式在中的一切数值都是正的，另一方面，（2）式中的后一括号内的和式当充分小时，显然在绝对值上可小于，于是全括号内的值是正的．因此，在点充分小的领域内必取正值，由此可见，在所说的处函数有极小值．同理当为负定时，函数有最大值．
2. 2 定理2
若函数在点的邻域内有定义，且有一阶及二阶连续导数，则当二次形式
．
是不定的，则在点处无极值（其中）.
定理二证明与定理一相似.从略.
例1．讨论（）的极值．
解 为 , ,．
由，，得, 所以在原点为唯一驻点，可能有极值，
，， ，
，， ，
，
==，
．
所以，由定理1知函数在处取得极小值．
例2 讨论（）的极值.
解 因为，，．
由，， ，得 , 所以在原点为唯一驻点，可能有极值.
,,,,
, ，
==．
．
所以，由定理2知函数在处无极值．
3 用导数求行列式的极值
3.1 行列式的求导法则
设为可导函数，则对行列式求导法则是
=．
即行列式的导数是数个项之和，其项数等于行列式的阶数，第一项是把原行列式的第一行（或第一列）的各元改为相应的导数，其行（或列）不变，第二项是把原行列式的第二行（或列）的各元改为相应的导数，其余行（或列）不变，以此类推．(证明过程略)
对各有不同的字母的行列式求导，可设其中之一字母为变量，其余字母为常量，然后关于行列式对此变量求导．
3.2 应用举例．
例3 计算的值．
解 令
．
在中，设为变量，对求导得
．
由导数的性质知对任意是一常数，故令,有
．
得．
结 论
在本文中，通过对函数行列式的的判定，我们更易了解一元函数极值和多元函数极值的有关性质．当然，函数极值方法有许多，但用行列式判定函数极值，有时能更方便地应用到解题中去．
参考文献
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致 谢
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