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摘 要
本文介绍了积分因子的概念以及积分因子的存在性和不唯一性，结合具体的实例给出常微分方程中积分因子的几种求法，即观察法、公式法、分组法.利用积分因子得到了在不等式和导数中值问题的相关应用以及一些初等数学公式的相关证明.关键词：常微分方程，积分因子，观察法，公式法，分组法
Abstract: In this paper，the concept of integral factor and the existence and uniqueness of integral factor was given. Combined with concrete examples，in ordinary differential equations of integral factor of several kinds of calculation methods are introduced. By studying integral factor，we can draw some other related applications.
Key words: ordinary differential equation，integral factor，observational method，formula method，grouping method
目 录
1引言……………………………………………………………………4
2积分因子的概念及其存在性…………………………………………4
2.1积分因子概念………………………………………………………4
2.2积分因子的存在性与不唯一性……………………………………5
3常微分方程中的积分因子的求法……………………………………5
3.1观察法………………………………………………………………5
3.2公式法………………………………………………………………7
3.3分组法………………………………………………………………12
4积分因子的其他应用…………………………………………………13
4.1利用积分因子证明不等式…………………………………………13
4.2利用积分因子证明导数中值问题…………………………………14
4.3利用积分因子证明初等数学公式…………………………………14
结束语…………………………………………………………………17参考文献………………………………………………………………18致 谢……………………………………………………………………19
1 引言
常微分方程是数学学科的一个重要分支，并且是一个数学与实际紧密相连的分支学科，因此求解常微分方程十分重要.而在求解常微分方程中，积分因子起着举足轻重的作用，利用积分因子可以解决很多不同类型的常微分方程，也可以解决一些实际问题.本文根据积分因子的定义，在结合具体实例的基础上对积分因子的求法进行归类、总结，并给出相关证明.除此之外，还利用了积分因子进行一些初等数学中的简单证明.
2 积分因子的概念及其存在性
2.1 积分因子的概念
定义1[1] 如果微分形式的一阶方程
， (1)的左端恰好是一个二元函数的全微分，即
， (2)
则称(1)是全微分方程或恰当微分方程，而函数称为微分形式(2)的原函数.
定义2 给定一般形式的一阶方程
，
若存在这样的连续可微函数，使方程
，
为全微分方程，则称函数为方程(1)的一个积分因子.
如方程
， (3)
在(3)中，设，则有，如果在方程(3)的两边同乘以，得到方程
，
为全微分方程，因此就是方程(3)的积分因子 .
2.2 积分因子的存在性与不唯一性
定理1 函数是常微分方程(1)的积分因子的充分必要条件是满足
. (4)
证明 为常微分方程(1)的积分因子，则方程为全微分方程，即可知，也就是，整理得，证毕.
定理2[2] 设为方程(1)的积分因子，又设，则也是方程(1)的积分因子，也称为方程(1)的积分因子通式.其中为的任意可微函数.
证明 因为，所以，由
，得.(其中为的一个原函数)
3 常微分方程中的积分因子的求法
3.1 观察法
对于一些容易观察的微分方程，我们可以通过观察或者适当的分组后再观察得到方程的积分因子.
例1 求解方程.
解 由于，故该方程不是全微分方程.再观察方程的左边，容易得出
在方程两边同乘以，得就是全微分方程了，故是该方程的积分因子.
利用观察法求积分因子，首先要观察方程是否能乘以某个常见的式子可以变为全微分方程，如果可以，这个式子就是该方程的积分因子.
例2 求解方程.
解 首先，使分母有理化，方程变为
，
再把方程变为
，
即
.
观察得出方程左边的前一部分为的全微分，故可乘微分函数后仍然是二元函数的全微分方程.又因为方程左边的后一部分形式为，因而取，于是方程变为
，
即
，
那么方程的通解是
.
如果不能迅速观察出常微分方程的积分因子，我们可以对方程进行重新调整，若其中一部分是二元函数的全微分方程，则方程可能有形如的积分因子.(为可微函数)
例3 求解方程.
解 重新组合改写为
，
方程左边的第一部分是的全微分.因此，设该方程的积分因子通式是，我们希望它也是后一部分的积分因子，则应满足充要条件
，
又知
，
，
即
，
所以
，
则求得
，
以乘原方程，得
，
得通解为
.
利用观察法得出常微分方程的积分因子，一般地，常见的常微分方程的积分因子有
，，.
3.2 公式法
定理3[3] 方程具有形如的积分因子的充分必要条件是
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