柯西不等式及其应用

论文总字数：7328字

摘 要

柯西不等式在我们日常生活中是一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的技巧性和应用性，在初等数学和高等数学中都有比较广泛的应用，可以轻松的解决一些数学问题，深受人们的喜爱和关注．本文对柯西做了简单的介绍，并且较详细的介绍了柯西不等式以及柯西不等式的推广，并用配方法、向量法、判别式法等方法证明了柯西不等式，最后给出了利用柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题、证明点到直线的距离公式等方面的应用．

关键词：柯西不等式，证明，应用

Abstract: Cauchy inequality is a very important inequality in our daily life， it is the symmetric structure harmonious，strong skills and application， and it is used widely in elementary mathematics and higher mathematics， can easily solve some mathematical problems， deeply people"s affection and attention． This paper introduce for Cauchy，and introduced in detail the Cauchy inequality and generalization of Cauchy inequality， and prove the Cauchy inequality method，vector method， discriminant method， finally presented the Cauchy inequality in the proof of inequality， asks the function most value， equation， trigonometry and geometry problems，proves that point to the straight line distance formula etc．

Keywords: Cauchy inequality， proved， application

目 录

1 前言……………………………………………………………………4

1.1 本文主要解决的问题及意义………………………………………4

1.2 国内研究情况………………………………………………………4

2 相关定理………………………………………………………………5

2.1 柯西简介……………………………………………………………5

2.2 柯西不等式…………………………………………………………5

2.3 柯西不等式的推论…………………………………………………5

2.3.1 柯西不等式的推论1……………………………………………6

2.3.2 柯西不等式的推论2……………………………………………6

3 柯西不等式的证明……………………………………………………6

3.1 配方法………………………………………………………………6

3.2 判别式法（构造二次函数）………………………………………7

3.3 向量法………………………………………………………………7

3.4 数学归纳法…………………………………………………………8

4 柯西不等式的应用……………………………………………………9

4.1 证明不等式…………………………………………………………9

4.2 求函数的最值与极值………………………………………………………9

4.3 解方程………………………………………………………………10

4.4 解三角与几何问题…………………………………………………11

4.5 推导点到直线的距离公式…………………………………………11

4.6 解释样本线性相关系数……………………………………………12

4.7 求参数范围…………………………………………………………13

结论………………………………………………………………………14

参考文献…………………………………………………………………15

致谢………………………………………………………………………16

1 前言

不等式是一种应用广泛且具有技巧性的工具，在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系也是最基本的数学关系，在初等数学和高等数学中都有重要的意义．特别是20世纪90年代，不等式的研究空前活跃，研究的深度和广度都在迅速扩大，柯西不等式就是其中一个非常重要的不等式．它结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱和关注．在中学数学和教学中，不等式的教学一直是一个难点，学生在学习不等式、应用不等式解题中困难重重．

柯西不等式是中学生解决一系列疑难问题的法宝，为了让学生对柯西不等式有更好的认识、了解，本文以柯西不等式为例，从证明方法到应用方面进行总结和归纳．证明方法从总体上大致分为以下几种：配方法、判别式法、向量法、数学归纳法．应用主要有以下几类：不等式证明的应用、函数极值的应用、解方程的应用、解三角形与几何问题的应用、推导点到直线距离公式的应用等．

1.1 本文主要解决的问题及意义

本文先对柯西不等式从定理、推论等方面进行了诠释，然后介绍了柯西不等式的几种常用证明方法，如配方法、判别式法、向量法、数学归纳法，最后探讨了柯西不等式在证明不等式、求极值、解方程、解三角形及几何问题、点到直线的距离公式、解释样本线性相关数等方面的应用．

柯西不等式是一个非常重要的不等式，价值不可估量．将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获．这个不等式结构对称和谐，无论是在代数，还是在几何中都可以应用，它在解决一些实际问题或推导一些数学结论上非常有用，在初等数学和高等数学中应用都比较广泛．因此，对柯西不等式的探究是有意义的．近年来，以柯西不等式为背景的试题已悄然在高考试卷和国内外的数学竞赛题中出现．在解题过程中，灵活巧妙地运用柯西不等式，从不同角度考虑问题，有助于拓宽解题思路，提升解题技巧，并可以将一些比较困难的问题得以比较简捷地解决，从而可以节省解题时间、提高效率，甚至可以收到出奇制胜、事半功倍的效果．

1.2 国内研究情况

柯西不等式是一个非常重要的不等式，它结构对称优美，具有较强的应用性，深受人们的喜爱．灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解．因此许多数学教师和资深数学教育家都在研究柯西不等式的证明及应用问题，如2004年洪顺刚在皖西学院学报上发表了《柯西不等式的证明及其应用》，探讨了柯西不等式多种证明方法，反映了柯西不等式在函数求最值、证明不等式及其在几何上的广泛应用，2009 年邹晶晶、周小玲，针对柯西不等式的重要性及较强的应用性，在数学学习与研究报上发表了《柯西不等式的应用》．2010年蔡玉书在数学通讯上发表了《用柯西不等式证明竞赛中的不等式》．但是这些研究还远远没有能够形成一个完整的体系，还需要做一个更深入的研究和讨论．该课题在国内仍备受关注．

2 相关定理

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