泰勒公式及其在解题中的应用

论文总字数：5618字

摘 要

：泰勒公式是数学分析的重要内容之一，它的理论方法和“化繁为简”的功能在数学领域的很多研究方面起到了相当大的作用．本文简要介绍了泰勒公式的基本内容以及几种常见的泰勒公式展开式，并且重点对于泰勒公式在求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性，判断函数的极值，求初等函数的幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值，求行列式的值等在数学分析和日常生活中的一些应用进行了较为全面系统的介绍，使我们对泰勒公式的重要性有更加深入的了解．

关键词：泰勒公式，佩亚诺型余项，拉格朗日型余项，应用

Abstract: Taylor’s formula is one of the important contents in the mathematical analysis, its theory and “complex simple” function in the mathematical field of research has played a significant role. This paper discusses some basic contents about the Taylor’s formula and Taylor’s formula of some common expansions. In this paper, we focus on discussing its applications in the mathematical analysis and daily life from following aspects in general: we can use the Taylor’s formula to solve the limit, prove the inequality, judge divergence of the series, prove the existence and uniqueness of the root, judge function extremum, strive for the elementary function of power series expansion, solve the approximate calculation, solve the value of higher derivative in some points, solve the value of the determinant and so on, this can help us to know the importance of the Taylor’s formula more deeply.

Keywords: taylor’s formula, peano more than, lagrange remainder, application

目 录

1 引言 4

2 泰勒公式的定义 4

2．1 带有佩亚诺(Peano)型余项的公式 4

2．2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的公式 4

3 泰勒公式的应用 5

3．1 利用泰勒公式求近似值 5

3．2 利用泰勒公式求极限 5

3．3 利用泰勒公式判别函数的极值 6

3．4 利用泰勒公式证明不等式 7

3．5 利用泰勒公式判断函数的凹凸性和拐点 8

3．5．1 判断函数的凹凸性 8

3．5．2 判断函数的拐点 9

3．6 利用泰勒公式计算行列式 10

结 论 12

参考文献 13

致 谢 14

1 引言

泰勒公式是18世纪英国数学家泰勒（1685-1731）在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的．泰勒主要是从有限差分出发，得到格里戈里-牛顿插值公式，然后令初始变量为零，项数为无穷，但没有给出余项的具体表达式，随着后人的不断研究与完善，形成今天我们学习使用的泰勒公式．

本论文将简单介绍泰勒公式及其各类型余项的泰勒公式展开式，简单讨论带有佩亚诺型余项和带有拉格朗日性余项的泰勒公式及其一些基本的在解题中应用的实际方法，同时配备了相应的例题解答和文字说明，还讨论了两种新的证明泰勒公式的方法．

2 泰勒公式的定义

泰勒公式按余项可分为定性的和定量的两类，它们的本质相同，但性质各异．

定性的余项为佩亚诺型余项，仅表示余项是，即当时高阶无穷小．

定量的余项为拉格朗日型余项（也可以写成，，定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或估计．

2.1 带有佩亚诺(Peano)型余项的公式

定理2.1　若函数在点的某邻域存在直至阶导数，则对此邻域内的点有

,

其中，称为佩亚诺型余项，式称为带有佩亚诺型余项的泰勒

公式．

当时

.

其中式称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林（Maclaurin）公式．

2.2 带有拉格朗日(Lagrange)型余项的公式

定理2．2 若函数在上存在直至阶连续导数，在内存在直至阶导数，则对任意给定的，，至少存在一点使得

,

其中，称为拉格朗日余项，式称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林公式．

注意到当时，有

,

此式即为拉格朗日中值公式，所以泰勒定理可以看作是拉格朗日中值定理的推广．

3 泰勒公式的应用

3.1 利用泰勒公式求近似值

当要求的算式不能得出它的准确值时，即只能求出近似值时，这时泰勒公式是解决这种问题的一个好方法．

例1 计算准确．

解 利用

当=1时有 ,

故lt;，显然当时，可得．

3.2 利用泰勒公式求极限

对于待定型的极限问题，一般可以利用洛比达法则来求解，但是，对于一些求导比较繁琐，计算复杂，特别是要多次使用洛比达法则的情况，利用泰勒公式求极限会简单很多．利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并且采用带佩亚诺型余项的泰勒公式．当极限式为分式时，一般要求分子和分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限．

例2 用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限．

解 当时，，由泰勒公式知

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