导数在不等式证明中有关应用

论文总字数：5139字

摘 要

:导数知识在高等数学学习中至关重要,它的内容,思想和应用贯穿于整个高等数学教学中,利用导数证明不等式是一种十分巧妙的方法,它能使我们更清晰地了解所要证明的不等式之间的内在联系,使不等式的证明化难为易,有利于培养我们理解问题、分析问题的能力,更有利于我们将所学知识灵活应用,学会融会贯通.本文将从利用函数的单调性,利用函数的最值,利用微分中值定理,利用函数的凹凸性,利用泰勒公式等五个方面阐述导数在不等式证明中的应用.

关键词:导数,不等式,函数,证明

Abstract: The knowledge of derivative is an extremely important part of higher mathematic, its content, ideas, and applications impenetrate into the teaching of higher mathematic. As to the proofs of inequalities, the use of the derivative proved to be an effective measure. Help us develop understanding questions and analysis question abilities. This article will elaborate the application of derivative in the use of the proofs of inequalities, that is , the monotonic property of the function , the maximum or minimum value of a function , differential mean value theorem, concavity, Taylor’s formula.

Key words: derivative, inequalities, function, prove

目 录

1 引言 4

2.一阶导数与不等式证明 4

2.1 单调性预备知识 4

2.2 拉格朗日中值定理预备知识 5

2.3 函数的最值（或极值)预备知识 6

3．二阶导数与不等式证明 7

3.1 函数的凹凸性预备知识 7

4. 多阶导数与不等式证明 8

4.1 泰勒公式预备知识 8

结论 10

参考文献 11

致谢 12

1 引言

导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的.随着多少年来不同数学家的努力,导数的应用越来越广泛,其中利用导数来证明不等式,因其思路清晰、方法巧妙,而备受人们关注.利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的紧密联系,将不等式的部分或全部投射到函数上,直接或等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数,再通过对新函数进行单调性的判断或中值定理的应用或最值求解等方法来推导出所求的不等式.利用导数来证明不等式方法多种多样,下面将从题干所给信息来判断使用哪一种方法及如何使用导数来证明不等式.

2 一阶导数与不等式证明

2.1 单调性预备知识

定理 设在区间I上可导,则在I上递增（减）的充要条件是

.

利用函数的单调性证明不等式的步骤如下:

1.首先确定函数自变量所在的区间I；

2.其次求,确定函数在区间I上的单调性；

3.最后由单调性证得不等式.

例1 证明当时,不等式恒成立.

证 令,则有,

因为,所以,即当,为增函数.

又因为在处连续,所以时,,

即有 ,

从而得到 ,.

下面我们再来看需要将不等式变形后构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性,

达到证明原不等式的类型题.

例2 已知,,求证（为自然对数的底）.

证 （分析 要证,只需证,即证)

设 (),则,因为,

所以　　　　　　　　　　　　　　, ,

故,则在上递增.

又因为,所以,故 ,

即

,

所以成立.

由上可得,解决这类问题的关键在于构造函数,其次要把证明的不等式变形,然后

在相应的区间上利用导数的相关知识判断其单调性,再用单调性来证明不等式.

2.2 拉格朗日中值定理预备知识

定理 （拉格朗日中值定理) 若函数满足如下条件：

1. 在闭区间上连续；

2. 在开区间内可导,

则在内至少存在一点,使得

利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤如下：

1.首先确定辅助函数及自变量所在的区间；

2.其次验证辅助函数在区间内满足拉格朗日中值定理的条件,从而得到

,；

3.对求导,从而得到,由此来建立一个不等式；

4.由的范围确定的范围,以此来验证不等式.

例3 证明若函数在上可导,且,则.

证 因为在上可导,所以满足拉格朗日中值定理的条件,由拉格朗日中值

定理知,存在,使得

,

又,故,

即 .

例4 证明当时,.

证 由于,则设,

因为在 上连续,在开区间内可导,满足拉格朗日定理的条件,故存在,使得

.

又因为,所以,,从而得到,

即 　 .

又,因而,

所以有　　　　　　　　　　　　.

从上面例题,我们可以看出利用拉格朗日中值定理证明不等式时,首先要通过观察题

干信息,以此作为依据构造出辅助函数,并使其在所给的区间满足拉格朗日中值定理的条件,再利用拉格朗日中值定理来证明不等式.

2.3 函数的最值（或极值)预备知识

定理 (极值的第一充分条件）设在点连续,在某邻域内可导.

（i）若当时,当时 ,则在点取得极小值.

（ii）若当时,当时,则在点取得极大值.

利用函数的最值（或极值)证明不等式的步骤如下：

1.首先确定函数自变量所在的区间；

2.其次求,确定函数在区间上的极值,并确定最值；

3.最后利用最值来证得不等式.

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