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摘 要

本文首先给出了凸函数的几个常见的定义及其等价条件，利用这些等价条件给出平常数学学习中常遇到的凸函数，并给出凸函数的几何直观图.紧接着就介绍了几个著名的不等式，包括Jensen不等式，Holder不等式以及Young不等式，同时这些不等式的证明也一一地呈现在本文中.本文的重点是利用凸函数的性质来解决某些不等式的证明，从中体现出凸函数理论研究价值和实际广泛应用.

关键词 ： 凸函数,Jensen不等式,应用凸函数

Abstract：This paper first gives a few common definitions and convex function of equivalent

conditions，and using these equivalent conditions given convex function that often encountered at the usual mathematical learning， and gives convex function of geometric figure. Then immediately introduces several famous inequality, including the Jensen inequality, Holder inequality and the Young inequality. At the same time，any one of these Inequality also presented in this article. Focusing on the use of convex functions is to solve some of Inequality. Convex function which reflects the value of theoretical research and practical application .

Keywords：Convex function , Jensen inequality ,Using Convex function

目录

1 引言 4

2 凸函数 4

2.1 凸函数的定义 4

2.1.1 凸函数的定义1 4

2.1.2 凸函数的定义2 4

2.2 凸函数的的判定 5

2.3 常用的凸函数 5

3 凸函数在不等式证明中的应用 6

3.1 证明几个著名的不等式 6

例1 Jensen不等式 6

例2 Cauchy—Holder不等式 7

例3 Young不等式 7

3.2 凸函数在其它不等式证明中的应用 8

结论 11

参考文献 12

致谢 13

1 引言

不等式的证明在初等数学中有着非常广泛的应用，是各省市中高考的热门考点，而且解决不等式的证明的方法也是多种多样，其中较常用的方法有综合法、分析法、比较法以及数学归纳法.而在高等数学中不等式的证明更是热门有力的话题.凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到应用.例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中.凸函数在不等式的证明中也是有着广泛地应用，因而本文试图从这个角度探索出一种比较简便的证明方法去解决某一些不等式.

2 凸函数

2.1 凸函数的定义

2.1.1 凸函数的定义1

设为定义在区间I上的函数，若对I上任意两点、以及，恒有

，

则称为区间（a，b）上的凸函数.

2.1.2 凸函数的定义2

设在上有定义，任意、，则有

称为区间上的凸函数.

注：定义2其实可看作是将定义1中的取值为.多用于证明检验某一特定函数是否为凸函数.例如，设，则，，两式相除得，即，所以为凸函数.

从直观上描述，凸函数是指它的图像上任意两点间的弧段总位于这两点间连线的下方.如下图.

2.2 凸函数的的判定

1若在区间I上可导，则为I上的凸函数 有

2 若在区间I上二阶可导，则为I上的凸函数

2.3 常用的凸函数

（1）= ，

（2）=

（3）=

（4）=

（5）=

3 凸函数在不等式证明中的应用

3.1 证明几个著名的不等式

例1 Jensen不等式

若是在上的凸函数，则对任意的，,,其中，则有

证明：由已知条件，取，因为是区间I上的凸函数，由等价条件知

将上面n个不等式分别乘以并相加，可以得到

即

注：Jensen不等式也可以认为是定义1的一般形式.

例2 Cauchy—Holder不等式

设为两组非负实数. . 则

证明 令，.因为，由凸函数的等价条件可知：.从而由Jensen不等式可得，，有.在这个式子中，我们令，而，从而可得.

注：1.在上式取，即可得到著名的不等式——柯西不等式：

2.该不等式的一般形式：

例3 Young不等式

设且（称），则

证明：取，由于，由凸函数的等价条件可知，在其定义域上为凸函数，从而对其中，该式子左端即为，所以也就证明了Young不等式.

3.2 凸函数在其它不等式证明中的应用

例1. 求证：对任意实数，有 .

分析：想要利用凸函数的性质来解决这道题目，那么就需要我们构造出一个函数，并且这个函数还要是凸函数.下面我们观察这道题目的形式特点，不难发现，本题最基础的函数模型就是，因此，不妨设，且，即为凸函数.下面给出证明.

证明：设，则由分析可知为其定义域上的凸函数，从而由Jensen不等式可知，对于，有 ，将代入，可得：

即

得证.

例2. 在中，证明 .

分析：令，则，这与凸函数的等价条件不符合.若令，则，符合凸函数的要求.下面给出证明.

证明：令，由分析可知，函数为凸函数，设，由Jensen不等式可得

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