自然数1在函数与不等式中的妙用

论文总字数：6214字

摘 要

在解决函数与不等式的问题的过程中，存在着各种各样的方法.自然数1的妙用是其中十分巧妙的数学方法，不但可以解决问题，而且使解题过程变的更简洁.本文归纳了一些自然数1在函数与不等式中的妙用，并通过例题对其进行详细的说明.希望通过本文可以引导学生根据题目的具体情况，探究和使用更加灵活巧妙的方法解决函数与不等式问题.

关 键 词：函数，不等式，自然数1，妙用

Abstract: There are a variety of ways in the process of solving functions and inequalities, but the magical using of natural number 1 is a very clever way. Not only it can solve the problem, but also the problem-solving process becomes more concise.This paper summarizes some using of the natural number 1 in the functions and inequalities and its detailed explanation by example. We hope this paper can guide the students to explore the use of more flexible and clever solutions to functions and inequalities according to the specific circumstances of the problem.

Keywords: functions, inequalities, natural number 1, magical using

目 录

1 引言 3

2 自然数1在三角函数中的妙用 3

2.1 的妙用 4

2.2 ^°=1的妙用 5

3 自然数1在对数函数与指数函数中的妙用 6

3.1 的妙用 6

3.2 的妙用 7

4 自然数1在不等式中的妙用 8

4.1 和或者积为1的妙用 8

4.2 不等式一边为1的妙用 10

4.3 1的添加的妙用 11

结论 13

参考文献 14

致谢 15

1 引言

在日常生活中，1是必不可少的一个数字，因为在日常生活中我们少不了语言的陈述，而一段完整的语言陈述几乎是不能缺少1的.此外在数学中自然数1也是一个十分神奇的数字，因为1从形式上看十分简单，书写起来只是直直的一划，但它在数学中的变化和应用却是很复杂的，因为任何一个多项式或单项式除以或者乘1都等于它的本身，它们的1次幂也是其本身，1的算数方根是1，两个等价无穷小的比值等于1等等.从1的表现来看1是极其简单的数量单位，但它的表现形式却是多种多样的，因为1可以表示为分子分母相等的一切分式值，1可以表示为1的任何实数幂，1可以表示为不等于零的任何实数的零次幂，1可以表示为同底的对数^[1] .如果在解决有关函数和不等式的问题中我们能对题目条件中隐藏的1的条件作出合理的数学变形，往往能使我们更加简便的解决问题，起到事半功倍的作用.

在本篇文章中我们将主要研究自然数1在一些函数和不等式中的妙用.由于自然数1对于三角函数、对数函数和指数函数是比较特殊的存在，所以我们将主要研究自然数1在三角函数、对数函数和指数函数中的一些妙用.同时我们将讨论在解不等式时，如何使用自然数1，使得解题过程变得更加方便和简洁.值得注意的是，在研究过程中，我们发现柯西不等式在解不等式的问题中占有十分重要的地位，所以我们也将研究如何使用自然数1使得我们能更有效地使用柯西不等式.

我们希望通过我们的研究之后能够使得大家掌握使用自然数1来更巧妙地解决问题的方法，故我们收集了一些函数与不等式中的有关妙用自然数1的例题，并将其分类和分析，对这些问题进行了较为详细的研究.

2 自然数1在三角函数中的妙用

三角函数在我们熟知的函数中是比较特殊的函数.首先，所以任意的多项式或者单项式除以或乘以，原式计算结果的大小不变.其次，三角函数是周期函数，所以当我们根据三角函数的值反过来求角的大小时必须要考虑角所在的象限，然而有时根据题目条件是很难判断角在第几象限的，所以如果有什么技巧使我们跳过角的象限的判断的过程，就不但能使解题过程变的更简便，而且可以提高解题的正确率.另外，因为在三角函数中、，所以如果、并且，那么通常我们可以用换元法令和.

2.1 的妙用

例1：已知，求的值.

本题的通常解法是根据和，求出和的值，然后将其代入等式中计算求值，但我们要注意判断角在第几象限，这往往是容易产生错误的地方.同时在计算过程中我们发现由于求出来的和的值带有根号，导致其代入和计算过程容易出现错误，所以这里我们来介绍如何妙用自然数1来求值.

解：原式=

=

=

=

=

这里通过运用一个多项式除以1大小不变和，就避免了考虑角在第几象限，使得计算变得更加简便.另外我们发现在计算过程中我们直接使用了条件中的，并没有对条件进行等价变形，既避免了条件变形过程中产生错误又充分理解了出题者的意图.

例2：已知，求证.

根据二次根式的定义，我们可得，，即和，并且根据及的结构特点，我们可以考虑利用三角函数来解题.

证明：由已知得，所以和.

设，，且，，则由已知得

即

所以

又，所以，即

故.

如果我们按照常规方法来解此题，那么我们必须要将a 用b来表示或者将b用a来表示，然后证明恒等于1.然而在解题的过程中必须要开根号，考虑a和b的正负性，所以证明过程特别复杂，对逻辑性的要求也比较高，但是根据对题目条件的分析我们发现a和b满足的条件与三角函数和cos比较相似，于是我们用三角函数来解题，果然过程变得十分简便.

2.2 tan45^°=1的妙用

在三角函数中的一个角度特别值得我们注意，那就是45^°，因为sin45^°=cos45^°，同时tan45^°=1．尤其是tan45^°的值等于1，使45^°的正切函数成为比较特殊的三角函数，所以如果多项式中含有tan45^°，那么就会比较容易计算.

例3：计算（1 tan1^°）（1 tan2^°）（1 tan3^°）…（1 tan44^°）（1 tan45^°）.

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