浅谈反证法在中学数学中的应用

论文总字数：7887字

摘 要

反证法是数学中一种应用广泛的证明方法，在许多方面都有着不可替代的作用．从最基本的性质定理，到某些难度很大的世界难题都是用反证法来证明的．反证法不仅可以单独使用，也可以结合其他方法一同使用，还可以在论证同一命题时多次使用．本文主要从反证法的涵义、依据、种类、使用方法、意义、适用范围、应用以及使用时的注意点八个方面浅谈反证法．

关键词：反证法，证明，矛盾

Abstract:The reduction to absurdity is a kind of widely used mathematical proof method,has an irreplaceable role in many ways.From the most basic theorem,the nature of the world to some difficult problems are made of reduction to absurdity to prove.Counter-evidence method not only can be used alone,can also be combined with other methods used together,also can be used multiple times in the argument the same proposition.This article mainly from the meaning of reduction to absurdity,basis,kinds,using methods,significance,scope of application,application and attention points in eight aspects discuss when using reduction to absurdity.

Key words: reduction to absurdity,proof,contradiction

目录

1 引言……………………………………………………………………4

2 反证法的涵义…………………………………………………………4

3 反证法的依据…………………………………………………………4

4 反证法的种类…………………………………………………………6

5 反证法的使用方法……………………………………………………6

6 使用反证法的原因……………………………………………………7

7 反证法的适用范围……………………………………………………7

8 反证法的应用…………………………………………………………7

8．1 否定性命题………………………………………………………7

8．2 限定式命题………………………………………………………8

8．3 无穷性命题………………………………………………………8

8．4 唯一性命题………………………………………………………9

8．5 不等性命题………………………………………………………9

8．6 存在性命题………………………………………………………9

9 运用反证法应注意的问题……………………………………………9

9．1 必须正确否定结论………………………………………………10

9．2 必须明确推理特点………………………………………………10

9．3 了解矛盾种类……………………………………………………11

结论………………………………………………………………………12

参考文献…………………………………………………………………13

致谢………………………………………………………………………14

1 引言

“将n 1个东西放进n个抽屉，不论怎样放，都至少有一个抽屉里面至少放了2个东西．”这就是大家熟知的抽屉原理或“鸽笼原理”．原理非常简单、明了，但论证起来却不容易．一种方法就是，假设不是这样，也就是每个抽屉都不会有两个或多于两个的东西，即最多只有一个，而总共有n个抽屉，于是，所有的抽屉里装的东西加起来最多就不会超过n个，这和我们有n 1个东西发生矛盾，假设不成立，结论正确．这样一种论证方法就是反证法．其实，在小学里学习自然数时也使用过这种方法来思考自然数个数的无限性，我们从来没有“看到”过无穷多的数，但我们确信存在着无穷多的数，这是因为，如果我们想象着有那么一个最大的数，那么往上再加1就能引出一个比它还大的数，所以，我们所谓的那个最大的数根本不是最大的．于是我们便认识到，并不存在最大的数——它们能永无止境地向更大的方向迈进．这段不起眼的思考体现的也是反证法思想．

反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用．数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的．

2 反证法的涵义

一般地，在证明一个命题时，从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的逻辑推理，导出与已知条件、已知公理、定理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，肯定了“结论反面成立”的假设是错误的，从而达到了证明结论正确成立的目的，这样一种证明方法就是反证法．

反证法对大家来说并不陌生，它是一种最常见的证明方法．成语故事：“自相矛盾”中，“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法．

运用反证法的关键在于归谬，归谬法属于反证法．美国著名数学家、教育家波利亚对这种证法作了很风趣的比喻：“归谬法是利用导出一个明显的谬误来证明假设不成立．归谬法是个数学过程，但它和讽刺家所爱好的做法——反话，都有几分相似．反话，很明显地采纳某个见解，但强调它并且过分强调它，直到产生一个明显的谬误．”

3 反证法的依据

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”．

在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，

这就是逻辑思维中的“排中律”．

反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假．再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真．

反证法属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．

所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的．

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：7887字