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摘 要

积分因子法可以将一些微分方程转化为全微分方程，再利用全微分方程求解方法求得方程的通解.本文研究了一些特殊微分方程的积分因子，探讨了几种特殊类型积分因子存在的条件，并通过实例来说明积分因子法在常微分方程解题中的广泛应用.

关键词：全微分方程，积分因子，原函数

Abstract: The integral factor method can be used to transform some differential equations into exact differential equations. And the general solution of the equation is solved by using the method of differential equation. In this paper, the integral factors of some special types of differential equations are studied. And we discuss the conditions for the existence of several special types of integral factors. Lastly some examples will be given to illustrate the wide application of the integral factor method in solving the ordinary differential equation.

Key words: exact differential equations, integral factor, primitive function

目 录

1 前言 4

2 预备知识 4

3 一些特殊微分方程的积分因子 5

3.1 变量可分离方程 5

3.2齐次方程 6

3.3 伯努利方程 8

4 一些特殊类型的积分因子 9

4.1 型积分因子 9

4.2 型积分因子 11

4.3 型积分因子 13

结论 15

参考文献 16

致谢 17

1 前言

在一阶常微分方程的一般解法中，通常先将原方程化为变量可分离方程，齐次方程，全微分方程和伯努利方程等几种类型的方程，再利用公式解出原函数，然后得到方程的通解.有时也可以利用积分因子法来求解这几类方程.积分因子法可以使方程的求解过程更加简便，因此积分因子法在常微分方程解题中具有重要的意义.

对于微分形式的一阶方程，如果它是全微分方程，可以采取观察法和通积分等方法求解.若它不是全微分方程，我们可以试图寻找积分因子，使方程变成一个全微分方程，进而求得方程的通解.积分因子一般不是唯一的，在简单的情况下，可以通过观察法得到积分因子.但是通常情况下，寻找积分因子是没有固定的方法，只能对某些有特殊形式的方程或某些给出了求解积分因子充要条件的方程，求出积分因子，最终求得方程的通解.

2 预备知识^[1,2]

定义1 如果微分形式的一阶方程

^[1] （1）

的左端恰好是一个二元函数的全微分，即

（2）

则称（1）是全微分方程，而函数称为微分式（2）的原函数.此时，方程（1）的通解是 .

定理1 方程（1）是全微分方程的充要条件是

^[2] （3）

定义2 假如存在这样的连续可微函数，使方程

^[3] （4）

成为全微分方程，我们把称为方程的一个积分因子.

定义3 形如

（5）

或

（6）

的方程，称为变量可分离方程.

定义4 如果方程

（7）

的右端函数可以改写成的函数，则称方程（7）为一阶齐次方程.

定义5 形如

（8）

的方程称为伯努利微分方程.

例1 求方程的通解.

解 因为^[4]

所以原方程不是全微分方程.

如果将原方程两边同乘以，得到方程

这是一个全微分方程，因为此时有

^[5]

所以是原方程的一个积分因子.

则

所以原方程的通解为，为任意常数.

同理可知也是原方程的一个积分因子,求得通解为，为任意常数.

由此例题知可以利用积分因子将非全微分方程转化为全微分方程进行求解，并且方程的积分因子不是唯一的.

3 一些特殊微分方程的积分因子

3.1 变量可分离方程

取同乘以（6）式两端，得

（9）

因为

所以（9）式是全微分方程.因此就是方程（6）的积分因子.

例2 求解方程 .

解 该方程为变量可分离方程,

取 同乘以原方程的两端得

（10）

因为

所以 （10）是全微分方程，因此为原方程的一个积分因子.

则

即

则方程的通解为

,为任意常数.

3.2齐次方程

利用变换 可以将方程化为变量可分离的微分方程

两边同乘得

（11）

因为

所以(11)式是全微分方程,从而 是方程（7）的积分因子.

推论1 若将齐次方程（7 ）化为微分形式

^[6] （11）

则方程（11）的积分因子为

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