辅助函数在高等数学中的应用

论文总字数：7562字

摘 要

：辅助函数在许多数学问题解决中起着关键作用，从而在高等数学中有广泛的应用．辅助函数的构造及应用，始终是学习中的重难点．本文通过对辅助函数的特征、功能、类型的介绍以及构造方法的讨论，对辅助函数在高等数学中的应用进行总结和归纳．

关键词：辅助函数，构造，方法，应用

Abstract: Auxiliary function in solving many problems in mathematics plays a key role, thus widely used in higher mathematics. Structure and application of auxiliary function is always the key and the difficulty of learning. In this paper, the characteristics of the auxiliary function, function, type of presentation and construction method are discussed, the application of auxiliary function in higher mathematics were summarized.

Keywords: auxiliary function, structure, method, application

目　　录

1 引言……………………………………………………………………………4

2 辅助函数与辅助函数法………………………………………………………4

3 辅助函数的构造方法…………………………………………………………4

4 辅助函数在高等数学中的应用………………………………………………5

4.1 证明数学定理………………………………………………………………5

4.2 证明中值存在性……………………………………………………………6

4.3 证明不等式…………………………………………………………………7

4.4 证明恒等式…………………………………………………………………7

4.5 求极限………………………………………………………………………8

4.6 证明函数一致连续性………………………………………………………8

4.7 求函数表达式………………………………………………………………9

4.8 计算行列式…………………………………………………………………9

4.9 解决极值问题………………………………………………………………10

4.10 级数求和…………………………………………………………………11

4.11 微分方程求解……………………………………………………………11

4.12 计算积分…………………………………………………………………12

结论………………………………………………………………………………13

参考文献…………………………………………………………………………14

致谢………………………………………………………………………………15

1　引言

函数描述的是数量间的关系，函数思想是指用函数的概念以及性质去分析和解决问题．通常函数思想是先构造函数再利用函数的性质解题，经常利用的函数的性质是：函数的单调性、最值、图像等，这就要求我们必须熟练掌握初等函数的具体特征．构造辅助函数是函数思想在数学中的重要应用，也是高等数学解题的一种重要方法．在解题中，我们要深入、充分、全面对题目中的问题进行观察、分析，这样才能产生问题与函数的联系，易于构造函数的表达式．另外，不等式、方程及一些代数问题也可等价转化为相应的函数问题．我们要能够发现题目中的隐含条件，构造函数且巧妙应用函数的基本性质．

2　辅助函数与辅助函数法

(1) 辅助函数法的概念

在数学问题的求解过程中，通过对已知条件以及结论的分析，构造函数，利用函数的性质，转化并解决问题．在这过程中构造的函数我们称为辅助函数，利用辅助函数解决问题的方法则称为辅助函数法．

(2) 辅助函数的特征

辅助函数类似于初等几何解题中的辅助线，用来辅助解题．同一个命题可以构造多种辅助函数，但辅助函数不一样对应的解题难度也不一样，因此如何构造恰当的辅助函数是解决这类问题的关键．

(3) 辅助函数法的功能

高等数学中许多解题过程都涉及到辅助函数．根据题中的已知条件构造出恰当的辅助函数，将问题转化为熟悉的形式，辅助函数是这种等价转化的桥梁．构造辅助函数也可以将题中的隐藏条件体现出来，并与要证的结论产生关联，这往往是证明题中的难点，在这里辅助函数起到媒介的作用．

(4) 辅助函数的常见类型

在构造辅助函数过程中有几种常见的类型，单调函数就是其中的一种.根据题意，进行移项或者作商等方法，求辅助函数的单调性，从而得到问题的解题思路．拉格朗日函数在高等数学中的表现形式为多元函数，求其偏导函数，从而找到极值或者最值，解决问题．还有部分可积函数、延拓函数等其它函数也可以构成辅助函数，能够构成辅助函数须具有相应的性质或功能，才能使得问题得以解决．

3　辅助函数的构造方法

(1)　几何直观法

几何直观是指利用图形描述和分析问题，本质上是一种通过图形所展开的想象力．利用几何直观法可以把复杂的问题变得简单易懂，有利于探究解决问题的思路．可以通过几何图形来考察函数间的关系，建立恰当的辅助函数解决问题，比如拉格朗日中值定理的证明．

(2)　原函数积分法

在利用微分中值定理求解介值或零点的问题时，证明的结论往往是某个函数导函数的零点，可通过不定积分反求出原函数，从而构造出辅助函数．

(3)　参数变易法

若想要证明的命题中通过恒等变形，使得等式一端常数已经分离，则可考虑用参数变易法进行构造辅助函数．参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量，从而构造出相应的辅助函数的方法．

(4)　微分方程法

通过构造辅助函数的方法求常微分方程的通解．即在遇到诸如“求证：存在，使得”之类的问题时，可先求解微分方程得其通解，则辅助函数可构造为．

(5)　逆向分析法

逆向分析法就是从待证的结论入手，进行逆向分析与推理，在推理中求出辅助函数．在利用微分中值定理证明存在性的问题时，经常要构造辅助函数．

以上介绍了几何直观法、原函数法、逆向分析法和常数变易法以及微分方程法这几种方法．在解题时恰当地构造辅助函数可以方便拓宽解题的思路，相对直接解题有很大的优势．还有很多构造辅助函数的方法，如不完全归纳法和恒等变形法，以及各种方法的综合应用等等，构造恰当地辅助函数可以使我们解题事半功倍．

4　辅助函数在高等数学中的应用

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