论文总字数：7296字
摘 要
矩阵的初等变换在数学研究中占有极其重要的地位.本文就用矩阵初等变换求逆矩阵、过渡矩阵、最大公因式和解线性方程组等应用进行简单的分析讨论.关键词:初等变换，逆矩阵，线性方程组，过渡矩阵，最大公因式
Abstract：Elementary matrix transformations in mathematical research plays a very important role. In this paper, by Matrix inverse matrix, the transition matrix, Greatest Common Factor reconciliation of linear equations and other applications simply discussed.
Keywords: Elementary transformation, inverse matrix, linear equations, transition matrices, Greatest Common Factor
目录
1 前言 4
2 矩阵初等变换的定义及性质 4
2.1 矩阵初等变换的定义 4
2.2 矩阵初等变换的性质 5
3 矩阵初等变换的应用 5
3.1 求逆矩阵 5
3.1.1 逆矩阵的定义 5
3.1.2 求逆矩阵的方法 5
3.1.3 求逆矩阵的例题 6
3.2 求极大线性无关组和秩 6
3.2.1 极大线性无关组和秩的定义 7
3.2.2 求极大线性无关组和秩的方法 7
3.2.3 求极大线性无关组和秩的例题 7
3.3 求解线性方程组 8
3.3.1 线性方程组解题原理 8
3.3.2 解线性方程组的方法 8
3.3.3 解线性方程组的例题 9
3.4 求过渡矩阵 9
3.4.1 过渡矩阵的定义 9
3.4.2 求过渡矩阵的方法 10
3.4.3 求过渡矩阵的例题 10
3.5 化二次型为标准形 11
3.5.1 二次型的标准形的定义 11
3.5.2 化二次型为标准形的方法 11
3.5.3 化二次型为标准形的例题 11
3.6 求最大公因式 12
3.6.1 最大公因式的定义 12
3.6.2 求最大公因式的方法 12
3.6.3 求最大公因式的例题 12
结论 14
参考文献 15
1 前言
矩阵的初等变换最初来源于线性方程组,在线性方程组求解时会用到下列三种变换[2]：(1)将一个非零的数乘以某一个方程；(2)把其中一个方程的倍数加到另一个方程；(3)互换两个方程的位置.这就是线性方程组的三种初等变换.对应着这三种变换，我们得出了矩阵的初等变换的概念.矩阵的研究离不开矩阵的初等变换，而把一个矩阵经过初等变换，化为形式较为简单的矩阵，则和具有相同的性质.由于一个线性方程组唯一对应着一个增广矩阵，因此，我们可以通过化简它对应的增广矩阵的方式来对线性方程组进行求解，而化简其增广矩阵显然要简单于直接对方程组进行求解.至此，矩阵的初等变换的研究似乎已经走到了尽头.
随着矩阵理论的逐步发展，矩阵知识体系的深入研究，新的问题也在不断的产生.除线性方程组求解以外，在求逆矩阵，矩阵的秩，过渡矩阵，最大公因式，化二次型为标准形以及求矩阵的特征值和特征向量等多种问题中，矩阵的初等变换还有着相当广泛的应用.当然我们知道，数学存在一题多解，我们还有很对其他的方法可以对他们进行求解，但是不同方法各有利弊，在我们用矩阵的初等变换来进行解题时，我们常常会觉得计算更加简单，并且更加的便于理解.矩阵初等变换的本质，就是把复杂形式的矩阵转化为简单形式的矩阵便于计算和讨论它的性质.随着数学知识体系的不断发展，矩阵的应用已经深入到自然、社会、经济等各大领域，我们的学习已不能仅仅局限于对旧知识的学习，而是应该理论的知识联系着实际，运用理论知识解决实际问题.本文会对如何利用矩阵初等变换来解决求极大线性无关组和秩、最大公因式、过渡矩阵、逆矩阵以及将二次型化为标准形等问题进行简单的分析与讨论.
下面我们先看看矩阵初等变换的定义以及矩阵初等变换的性质.
2 矩阵初等变换的定义及性质
矩阵初等变换包括矩阵初等行变换和矩阵初等列变换[[1]]
2.1 矩阵初等变换的定义
定义1[[2]] 所谓数域上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：
(1) 倍数变换：以中一个非零的数乘矩阵的某一行；
(2) 消法变换：把矩阵的某一行的倍加到另一行，是中任意一个数；
(3) 换位变换：交换矩阵的任意两行.
同理，我们可以对矩阵初等列变换进行定义.
2.2 矩阵初等变换的性质
矩阵的初等变换不改变向量组和矩阵的秩，不改变向量组的线性相关性，经过一系列初等变换得到的向量组或矩阵与原向量组或矩阵等价等，这些都是它的重要.此处，我给出了它的其他两个性质.
定理1[[3]] 第(3)种初等变换可以由第(1)、(2)种初等变换实施得到.
定理2[3] 设是数域上一个矩阵，其中且，若经过初等行变换变为矩阵其中，则有 .
说明 由定理1得出，只需进行其中的两种初等变换就能起到三种不同初等变换的作用.定理2得出，矩阵中行向量的线性表达式的求解能够通过简单的初等列变换得到.同样的，对列向量的情形也有着类似的结论.
下面我们对应着定义以及性质给出它们相应的应用.
3 矩阵初等变换的应用
3.1 求逆矩阵
3.1.1 逆矩阵的定义
定义2[[4]] 设为方阵，若存在阶方阵，使则称为可逆矩阵或是可逆的，并且称为的逆矩阵，记为.
3.1.2 求逆矩阵的方法
逆矩阵的一般求法：对于可逆矩阵，因为(其中，表示的伴随矩阵),如果，那么由 可得 ,
但是此方法计算量相对较大，特别是阶数较大的矩阵不大实用，所以，我们给出了另一种求逆矩阵的方法：初等变换法.
方法一 对于可逆矩阵，由于，我们用初等行变换将的左边化为单位矩阵，则右边就是所求的逆矩阵.
方法二 对于可逆矩阵，由于 ,我们用初等列变换将 的上面变为单位矩阵，下面就是所求的逆矩阵.
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